Non-explosive volcanic eruptions can result in the formation of lava domes when highly viscous magmas extrude on the surface. To distinguish between different mechanisms during the evolution of lava domes, isothermal and non-isothermal numerical models were used to explore the processes behind the evolution of the internal structure and morphological shape. To model the lava dome growth, we assume that the lava behaves as a viscous fluid, and use the Navier-Stokes, continuity, and the heat equations, along with relevant initial and boundary conditions. Additionally, an advection equation is employed to describe the movement of the interface between air and lava. The lava viscosity depends on the melt viscosity and the volume fraction of crystals. The latter is determined from an evolutionary equation that describes simplified crystal growth kinetics of degassing-induced crystallization. Numerical modelling employs finite volume and volume of fluid methods. The models demonstrate how lava dome dynamics are influenced by crystallization, the radiative-convective heat transfer, and the rheological stiffening driven by cooling. If the lava viscosity mainly depends on the volume fraction of crystals (as in the isothermal case study), the lava dome grows upward initially and later advances horizontally. The non-isothermal model shows that a highly viscous layer (carapace) forms within the uppermost part of the lava dome due to cooling, which restricts rapid dome broadening by creating steep slopes on the sides during long periods of dome building. Both models provide insights into the underlying processes and mechanisms of the evolution of lava domes, including their growth, carapace formation, and morphological modifications.

Рассматриваются системы дифференциальных уравнений с частными производными, полученные ранее А.Ф. Сидоровым для пространственной естественной конвекции вязкой жидкости в приближении Буссинеска в случае течений с линейной зависимостью компонент вектора скорости от части пространственных координат. Методом, развиваемым авторами, они сведены к системам обыкновенных дифференциальных уравнений. Найдены некоторые точные частные решения. Изучено, может ли решение уравнений Обербека - Буссинеска, которое линейно зависит от переменной z, описывать безвихревое движение вязкой несжимаемой жидкости.

Systems of partial differential equations obtained earlier by A.F. Sidorov for spatial natural convection of a viscous liquid in the Boussinesq approximation are considered in the case of flows with a linear dependence of the components of the velocity vector on a part of the spatial coordinates. To study these systems the methods of reduction of systems of partial differential equations developed by the authors are used. The systems under consideration are reduced to systems of ordinary differential equations. Some exact partial solutions have been found. It is studied whether the solution of the Oberbeck–Boussinesq equations, which linearly depends on the variable z, can describe the vortex-free motion of a viscous incompressible fluid.

В работе рассматривается задача об оценке реологических характеристик течения тонкого слоя вязкой несжимаемой жидкости по заданной поверхности. Задача формализуется как обратная задача для данной модели. Вязкость жидкости зависит от пространственных координат. Исследование проводится в предположении некорректности этой задачи. Для численного решения некорректных задач требуется разработка специальных методов, которые гарантируют устойчивость вычисляемого решения. Предлагается воспользоваться вариационным методом и заменить исходную задачу экстремальной задачей на минимум подходящего функционала невязки между наблюдаемым параметром в модели и его модельным решением. Искомое решение задачи последовательно аппроксимируется решениями начальных задач управления, которые представляют собой нелинейные системы дифференциальных уравнений с частными производными с полностью определенными параметрами. Для минимизации функционала невязки применяется линеаризованный метод сопряженных градиентов в реализации Полака–Рибьера. Градиент этого функционала и шаг спуска определяются аналитически, что позволяет существенно сократить объем вычислений. Метод конечных объемов применяется для интегрирования систем дифференциальных уравнений с частными производными с различными геометриями расчетной области. Алгоритмы численного моделирования верифицированы в пакете вычислений OpenFOAM. Компьютерные коды рассчитаны на их применение на вычислительных кластерах как с общей, так и с распределенной памятью на CPU под управлением ОС Linux.

В связи с усложнением деформирующего тела в технологии построения трехмерных структурированных сеток, предназначенной для моделирования процессов многокомпонентной гидродинамики, описаны исследования с целью расширения возможностей развиваемой технологии: описана модификация алгоритма морфинга сеток для случаев деформации телами, образованными поверхностями вращения с параллельными осями, когда образующие поверхностей вращения могут быть и дугами окружностей. Ранее алгоритм морфинга был реализован для образующих, состоящих только из отрезков прямых. В новой модификации морфинга усложнен и способ формирования тел. Для деформирующих тел рассматриваются парные образующие — левые и правые. В случаях возникновения для них разных по типу тел вращения (для задания отрезками прямых возникают цилиндр и конус) при осуществлении морфинга налагалось ограничение принадлежности узлов обоим телам. Сейчас это ограничение снято (в том числе и для дуг окружностей) и разработан универсальный алгоритм: узел может принадлежать только одному телу вращения. Модификация алгоритма реализована в виде программы на языке C++ по единым для технологии требованиям и может быть выбрана основой системы искусственного интеллекта

Рассмотрена экстремальная (вариационная) задача на минимум некоторого функционала невязки. Экстремальная задача является вариационной формулировкой обратной задачи о нахождении коэффициента температуропроводности в модели стационарной диффузии-адвекции-реакции. Исходной информацией для решения обратной задачи являются результаты измерения следа нормальной производной от решения соответствующей краевой задачи для этой модели на границе функционирования модели. Функционал невязки представляет собой разность между нормальными производными моделируемого и наблюдаемого состояниями модели в метрике отрицательного пространства Соболева на границе области функционирования модели. Предварительно доказывается некоторое утверждение о существовании и единственности следа нормальной производной от решения в отрицательном пространстве Соболева дробного порядка на границе, позволяющее корректно поставить обратную задачу и ее вариационную формулировку. Исследуются различные аспекты экстремальной задачи. Показано, что множество точек минимума в вариационной задаче может оказаться пустым. Приведены также некоторые условия разрешимости вариационной задачи, когда множество точек минимума непусто. Указаны некоторые необходимые условия единственности минимизирующего элемента. Сформулированы понятия слабой и сильной корректности экстремальной задачи. Сильная корректность влечет слабую, указаны некоторые условия сильной корректности. Приведены примеры задач, в которых отсутствуют и сильная, и слабая корректности задачи; имеет место слабая, но не сильная корректность. Сформулированы необходимые условия минимума функционала невязки в специальной задаче.

Более 60 % территории России занимает вечная мерзлота, включая стратегически важные регионы Западной Сибири и Крайнего Севера, где сосредоточены значительные запасы нефти и газа, расположены ключевые транспортные коридоры (Севморпуть, Северный широтный ход) и имеется критическая инфраструктура (трубопроводы, нефтебазы, города). Многолетние наблюдения за температурой воздуха в Северном полушарии зафиксировали повышение среднегодовой температуры, которое по значениям больше в приполярных регионах, что приводит к протаиванию мерзлоты и снижению несущей способности грунтов. Техногенное воздействие (тепловые утечки от зданий/трубопроводов, нефтяных скважин) в сочетании с климатическими изменениями значительно увеличивают зону таяния, что может привести к серьезным экологическим авариям и разрушениям объектов капитальной инфраструктуры в криолитозоне. Поэтому долгосрочное прогнозирование на основе методов математического моделирования и предотвращение таких последствий, вызванных воздействием климатических и техногенных факторов на динамику изменения несущей способности грунта, является актуальной задачей.Современные свайные фундаменты зданий в криолитозоне имеют проветриваемые подполья, в которых могут содержаться сотни различных элементов, таких как сваи, сезоннодействующие охлаждающие устройства и термометрические скважины, используемые для автоматизированного мониторинга температуры грунта на различных глубинах. Вся эта информация может являться также входными данными для проведения компьютерного моделирования при создании цифрового температурного двойника с использованием технологий IOT, компьютерного зрения и машинного обучения для конкретного свайного фундамента в криолитозоне. Разработка такого цифрового двойника позволит существенно упростить ввод исходных данных и проводить математическое моделирование изменений несущей способности свайного фундамента при различных сценариях изменения климатических и технологических параметров, связанных с изменением эффективности работы сезоннодействующих охлаждающих устройств, а также возможных коммунальных аварий, приводящих к изменению температурного режима грунта.

Permafrost occupies more than 60 % of Russia’s territory, including strategically important regions of Western Siberia and the Far North, where significant oil and gas reserves are concentrated, key transport corridors (Northern Sea Route, Northern Latitudinal Passage) are located, and critical infrastructure (pipelines, oil depots, cities) is presented. Long-term observations of air temperature in the Northern Hemisphere have recorded an increase in the average annual temperature, which is most significant in the polar regions, which leads to thawing of permafrost and a decrease in the bearing capacity of soils. Man-made impacts (heat leaks from buildings, pipelines, oil wells) in combination with climatic parameters significantly increase the thawing zone, which can lead to serious environmental accidents and destruction of capital infrastructure in the cryolithozone. Therefore, long-term forecasting and prevention of such consequences caused by the impact of climatic and man-made factors on the dynamics of changes in the bearing capacity of soils based on mathematical modeling methods is an urgent task. Modern pile foundations of buildings in the cryolithozone have ventilated underground spaces that can contain hundreds of different elements, such as piles, seasonal cooling devices and thermometric wells used for automated monitoring of soil temperature at different depths. All this information is also the initial data for computer modeling and creating a digital temperature twin using IOT technologies, computer vision and machine learning for a specific engineering pile foundation in the cryolithozone. The development of such a digital twin will significantly simplify the input of initial data and carry out mathematical modeling of changes in the bearing capacity of the pile foundation under various scenarios of changes in climatic parameters, technological ones associated with changes in the efficiency of seasonal cooling devices, as well as possible utility accidents leading to changes in the temperature regime of the soil.

This study focuses on an emergency railway bridge support in a permafrost region, constructed in 1983 with 12 reinforced concrete piles and joined by a rostwerk. Monitoring data revealed significant settlement (15 mm over 6 months in 2022), attributed to permafrost degradation due to climate warming and dynamic train loads. A numerical model was developed to predict the bearing capacity loss of thawing soils, calibrated using ground temperature data from monitoring wells. Simulations projected a critical reduction in soil stability by 2033, posing a high risk of structural failure. While solar radiation exacerbates permafrost thaw, the sunlight protection proved insufficient for stabilizing the foundation. As a countermeasure, seasonal cooling devices (SCDs) were modeled for soil thermal stabilization. Numerical simulations of different SCD operation modes demonstrated their effectiveness in inhibition of permafrost degradation and improving the load-bearing capacity of the piles. The results provide a basis for optimizing permafrost protection strategies in railway infrastructure. The study was conducted in collaboration with M.Yu. Filimonov. The research was funded by a grant of the Russian Science Foundation N 24-21-00160.

Исследование посвящено анализу аварийной опоры железнодорожного моста в криолитозоне, построенной в 1983 году на 12 железобетонных сваях с ростверком. Наблюдения выявили критическую просадку опоры (15 мм за 6 месяцев в 2022 году), вызванную таянием вечной мерзлоты из-за климатических изменений и динамических нагрузок от поездов. Для прогнозирования деградации несущей способности грунта разработана численная модель, верифицированная по данным мониторинга термометрических скважин. Расчеты показали, что к 2033 году дальнейшее снижение несущей способности грунта может привести к аварийной ситуации. Хотя солнечная радиация влияет на тепловой режим, ее исключение не обеспечивает достаточного укрепления основания. В качестве решения предложена термостабилизация грунта с помощью сезонных охлаждающих устройств (SCDs). Численное моделирование различных режимов работы SCDs подтвердило их эффективность в замедлении деградации мерзлоты и повышении несущей способности грунта вокруг свай. Результаты работы позволяют оптимизировать методы защиты опор в условиях криолитозоны.

Представлены математическая модель и результаты численных расчетов задачи формирования провалов на свободной поверхности вязкой жидкости, заполняющей некоторую ёмкость и вытекающей из некоторого отверстия.

Most buildings in permafrost regions are designed to maintain the frozen state of foundation soils. However, climate warming and increased anthropogenic influence are accelerating permafrost degradation, threatening the structural stability of infrastructure. Utility failures in a ventilated underground are of particular concern, which can cause abrupt thermal disturbances in the ground. This study presents a mathematical model and numerical algorithm for simulating non-stationary temperature fields in building foundations under emergency thermal impacts. A residential building in Salekhard, Russia, was selected as a case study, where a wintertime utility accident significantly altered the ground thermal regime. The model accounts for subfloor cooling systems and natural ventilation. Verification was performed by comparing simulation results with temperature monitoring data. The findings provide insights into the effects of utility failures on ground thermal stability and can inform more resilient engineering designs in permafrost regions

Описывается алгоритм морфинга, пополнивший технологию построения трехмерных структурированных сеток для моделирования процессов многокомпонентной гидродинамики. Алгоритм морфинга предназначен для построения сеток особой структуры в телах, полученных деформацией объемов вращения телами, образованными поверхностями вращения с параллельными осями. Алгоритм создан на основе алгоритма для построения сеток в объемах вращения, деформированных другими объемами вращения. В настоящем докладе рассматриваются более сложные виды деформирующего тела, образующие которых допускают и отрезки прямых, и дуги окружностей.

Рассматриваются следствия системы уравнений нестационарной пространственной естественной конвекции несжимаемой вязкой жидкости. А.Ф.Сидоров применял некоторые аналитические методы построения решений в нелинейных задачах пространственной естественной конвекции, используя модель Обербека—Буссинеска. Предложен алгоритм получения безвихревого конвективного движения в случае произвольного потенциального течения жидкости в части трехмерного пространства («коридор»), основанный на методе редукции УЧП и систем УЧП к ОДУ. ОДУ предлагается решать методом характеристик. Показано в общем случае и на примерах, что при любом конвективном течении несжимаемой вязкой жидкости существует «коридор», в котором осуществляется безвихревое движение.

Риск-ориентированные подходы в здравоохранении направлены на повышение эффективности диагностики и лечения различных заболеваний, в том числе онкологических, на ранних, курабельных (излечимых) стадиях. В ряду диагностических исследований желудочно-кишечного тракта наиболее эффективной методикой диагностики предопухолевой и опухолевой патологии пищевода, желудка и толстой кишки являются эндоскопические исследования. Цель работы. Проанализировать статистические данные по выявляемости злокачественных новобразований пищеварительного тракта в Свердловской области за период с 2019 по 2023гг, сопоставить с данными по техническому оснащению и кадровому обеспечению и динамикой летальности. Материалы и методы. Проведён корреляционный анализ выявляемости рака пищеварительного тракта на разных стадиях, уровня технического оснащения и кадрового обеспечения эндоскопических подразделений медорганизаций Свердловской области с 2019 по 2023гг.. Анализ строился на основании оценки медико-статистических данных Информационно-аналитической системы Профильной комиссии по эндоскопии Министерства здравоохранения Российской Федерации, данных о состоянии онкологической помощи населению России под редакцией А.Д. Каприна, данных ежегодных отчётов по форме №30 «Сведения о медицинской организации» Медицинского информационноаналитического центра Министерства здравоохранения Свердловской области, а также данных регионального канцер-регистра. Результаты. Анализ данных по техническому оснащению эндоскопических подразделений Свердловской области за 2019-23гг показал, что число гастроскопов, отвечающих современным требованиям, увеличилось на 150 единиц, что снизило риски, связанные с их оснащением гастроскопами с 79,6% до 44,6%. Число отвечающих современным требованиям колоноскопов увеличилось на 89 единиц, что снизило риски, связанные с их оснащением с 64% до 24,1%. Показатели рисков по кадровому обеспечению были более 75%. Вместе с тем, по отношению к загрузке штатных должностей врачей-эндоскопистов, эти показатели были в пределах допустимых и средних значений - менее 25% и до 50%. Корреляционный анализ показателей летальности от злокачественных новообразований пищеварительного тракта на первом году жизни после установления диагноза показал, что суммарный риск уменьшается при увеличении занимаемых и штатных ставок врачей-эндоскопистов в поликлиниках (k=-0,92 и -0,86), при увеличении числа проведенных диагностических видео/эзофагогастроскопий и видео/колоноскопий (k=-0,68/ 0,79 и -0,72/0,88). Обсуждения. Корреляционный анализ суммарного риска летальности от злокачественных новообразований пищеварительного тракта на первом году после установления диагноза показал тенденции его уменьшении при внедрении видеоэндоскопической аппаратуры и улучшении кадрового обеспечения эндоскопических кабинетов поликлиник. Выводы (заключение). Анализ технического оснащения и кадрового обеспечения эндоскопических подразделений Свердловской области позволил подтвердить эффективность мероприятий по организации работы эндоскопических подразделений, направленной на снижение летальности от злокачественных новообразований пищеварительного тракта.

Рассматривается задача об оценке реологических характеристик течения вязкой несжимаемой жидкости по заданной поверхности по результатам измерения толщины течения. Задача формализуется как обратная задача о восстановлении коэффициента вязкости в модели течения вязкой жидкости в поле силы тяжести в приближении тонкого слоя. Вязкость жидкости зависит от пространственной координаты. Аналитическое исследование корректности данной задачи провести затруднительно, поэтому исследование и моделирование проводится в предположении некорректности этой задачи.

Несущая способность грунта, окружающего свайный фундамент капитального сооружения в криолитозоне, напрямую зависит от толщины активного слоя (ALT). Активным слоем является верхний слой грунта, который ежегодно оттаивает летом и замерзает зимой. Его толщина в вечной мерзлоте зависит от климатических условий, теплофизических характеристик грунта, растительного покрова, осадков, солнечного излучения и других факторов, в частности потепления климата, которое в районах распространения вечной мерзлоты происходит более быстрыми темпами по сравнению с другими регионами. Исследование изменения толщины ALT является актуальной задачей, которой занимаются многочисленные исследовательские коллективы, и которая находится в центре внимания действующих международных программ, посвященных сбору и распространению данных о толщине ALT в различных точках Северного полушария. В России большинство капитальных сооружений в криолитозоне построено и эксплуатируется по принципу сохранения в мерзлом состоянии оснований фундамента. Поэтому величина толщины ALT является важным индикатором, характеризующим температурную устойчивость грунта, окружающего свайный фундамент капитального сооружения, в условиях меняющегося климата. В настоящем исследовании проводится изучение толщины ALT, но в проветриваемом подполье современного жилого здания, имеющего свайный фундамент, оснащенный сезонно действующими охлаждающими устройствами, используемыми для термостабилизации грунта. Детально исследованы различные сценарии потепления климата и их влияние на работу охлаждающих устройств, а значит, и на толщину ALT. Новизна предлагаемого исследования заключена также в оригинальной методике, учитывающей при компьютерном моделировании данные температурного мониторинга и предысторию температурного режима грунта, окружающего свайный фундамент конкретного жилого дома в городе Салехарде.

The bearing capacity of the soil surrounding the pile foundation of a building in the cryolithozone is directly dependent on the thickness of the active layer (ALT). The active layer is the upper soil layer that thaws in summer and freezes in winter annually. Its thickness in permafrost regions is influenced by climatic conditions, thermophysical properties of the soil, vegetation cover, precipitation, solar radiation and other factors, particularly climate warming, which occurs at faster rate in permafrost areas compared to other regions. Studying changes in ALT thickness is a pressing issue addressed by numerous research teams and it is the focus of active international programs dedicated to collecting and disseminating data on ALT thickness across various locations in the Northern Hemisphere. In Russia, most buildings in the cryolithozone are constructed and operated on the basis of the principle of maintaining the foundation base in frozen state. Therefore, the ALT thickness serves as a crucial indicator of the thermal stability of the soil surrounding the pile foundation of a building under changing climate conditions. This study examines the ALT thickness in the ventilated underground of a modern residential building with a pile foundation equipped with seasonally operating cooling devices used for ground thermal stabilization. Various climate warming scenarios and their impact on the performance of cooling devices, and consequently on the ALT thickness, are studied in detail. The novelty of the proposed research is in the original methodology that incorporates temperature monitoring data and historical thermal regime of the soil surrounding the pile foundation of a specific residential building in Salekhard into the computer modelling process.

В работе представлена математическая модель, описывающая динамику изменения температурных полей в грунтовом массиве вокруг аварийной опоры железнодорожного моста, расположенной в криолитозоне. Исследуемая опора состоит из 12 бетонных свай большого диаметра, объединенных монолитным ростверком, и подвержена значительной просадке, что угрожает устойчивости сооружения. Поскольку несущая способность свайного фундамента напрямую зависит от температурного режима мерзлых грунтов, в модели учтены ключевые факторы, влияющие на тепловое состояние основания: климатические изменения (включая рост среднегодовых температур), солнечная радиация, литологический состав грунтов, их теплофизические свойства, а также региональные климатические особенности..

Рассматривается задача оптимального управления в классе кусочно непрерывных управлений с гладкими геометрическими ограничениями на фиксированном промежутке времени линейной автономной системой с двумя независимыми малыми положительными параметрами, один из которых – ε – является множителем при части производных в уравнениях системы, а второй – μ – в начальных условиях. Показатель качества выпуклый терминальный, зависящий только от значений медленных переменных в конечный момент времени. Обосновано предельное соотношение для вектора, определяющего оптимальное управление, при независимом стремлении малых параметров к нулю. Исследованы два случая: регулярный, при котором оптимальное управление в предельной задаче непрерывно, и сингулярный – с особенностью оптимального управления. Показано, что в регулярном случае решение раскладывается в степенной ряд по ε и μ, в то время как в сингулярном случае асимптотика решения представляет собой ряд Эрдейи, в обоих случаях относительно стандартной калибровочной последовательности ε^k+μ^k при ε+μ→0.

Описывается алгоритм морфинга, пополнивший технологию построения трехмерных структурированных сеток, предназначенную для численного решения дифференциальных уравнений, моделирующих вихревые процессы многокомпонентной гидродинамики. Алгоритм морфинга предназначен для построения структурированных сеток особой структуры в объемах, полученных деформацией объемов вращения телами, образованными поверхностями вращения с параллельными осями. Алгоритм разработан в рамках вариационного подхода построения оптимальных сеток и является нестационарным: на каждой итерации меняется (деформируется) форма области и сетка для нее, затем сетка оптимизируется в соответствии с критериями оптимальности, т. е. близости сетки к равномерной и ортогональной. Итерации повторяются до тех пор, пока деформация объема не достигнет требуемой формы. Алгоритм позволяет строить сетки в областях очень сложной геометрии, при этом не нужно задавать границу области сложной формы, достаточно описать объем вращения, деформирующий объем и указать параметры деформации. Приводятся примеры расчетов сеток.

Global warming processes have a particularly strong impact on northern regions with permafrost. In these areas, the rate of warming exceeds the global average, leading to permafrost degradation. One consequence of this process is the reduced bearing capacity of soils surrounding the pile foundations of critical infrastructure, including residential buildings with pile foundations and ventilated underground. To monitor changes in soil bearing capacity, automatic thermometric stations are installed in the ventilated undergrounds of residential buildings. Additionally, specialized software applications are developed for long-term forecasting of pile bearing capacity trends using temperature monitoring data. Typically, such software requires significant computational resources, often taking tens of hours to run on high-performance supercomputers. To address this challenge, we developed a neural network that efficiently predicts soil temperatures based on ventilated underground temperatures. The model is designed to run on conventional computers, making it accessible to researchers without advanced computational mathematics expertise. This paper describes the network’s architecture and presents prediction results that align well with monitoring data.

The climate keeps the warming trend, and it occurs the warming conditions provide the faster rate for the cryolitozone than the other regions. It affects on the permafrost soils and generates additional problems for the sustainability of infrastructure in these areas. One of the basic climatic factors which makes destruction for permafrost is the sun heating. In this paper an investigation of on the contribution of insolation to the reduction of the bearing capacity of the support piles of a railway bridge located in the permafrost zone. The mathematical model considers global warming with the rate of 0.04°C per year. The calculations were carried out for 40 years starting from the construction of the bridge in 1983 and showed that the bearing capacity of the soil could be increased by 18% by 2023 if protection from solar radiation is used for a specific railway bridge support.

Рассмотрена математическая модель, описывающая динамику изменения температурных полей в грунте, окружающего аварийную опору железнодорожного моста в криолитозоне. Это опора состоит из 12 бетонных свай большого диаметра, объединенных бетонным ростверком, и испытывает существенную просадку. Несущая способность свайного основания опоры определяется температурным режимом грунта, который зависит от многих факторов, включая потепление климата, учет солнечной радиации, литологию грунта, его теплофизические характеристики и особенности климатических факторов, характерных для конкретного географического места. Для описания нестационарных температурных полей используется конечно-разностный метод расчета. Новизна предложенного алгоритма заключается в учете данных температурного мониторинга как современных, так и полученных более 40 лет назад. Проанализированы характерные распределения температур в грунте с учетом расположения опоры относительно сторон света и её инсоляции.

The paper presents a mathematical model for simulating the dynamics of temperature field changes in the soil surrounding the emergency support structure of a railway bridge located in the permafrost zone. The support structure, consisting of 12 large-diameter concrete piles connected by a concrete grillage, experienced significant subsidence of 15 mm over a 6-month observation period. The bearing capacity of the pile foundation is highly dependent on the soil temperature regime, which is influenced by multiple factors such as global warming, solar radiation with account taken of the North-South orientation of the support structure, soil lithology, temperature-dependent thermophysical properties, and local climatic conditions. To model the non-stationary temperature fields, a finite-difference method was employed. The proposed approach introduces two key innovations: the first is the integration of temperature-monitoring data into a numerical method to determine climate-warming trends specific to the geographic location, and the second is the consideration of the historical soil temperature regime around the pile foundation since the bridge construction and commissioning in the Yamalo-Nenetz Autonomous District. The method is validated through numerical simulations, which analyze seasonal temperature field variations at different depths. The results provide insights into characteristic temperature distributions in the soil, taking into account the support orientation.

Описывается алгоритм построения структурированных сеток в деформированных объемах вращения для случаев деформации объемами, образованными поверхностями вращения с параллельными осями вращения (называемыми обобщениями объемов вращения). Предложенный алгоритм является дальнейшим развитием нестационарного алгоритма построения структурированных сеток в областях с подвижными границами. Ранее этот алгоритм был разработан для случаев деформации объема вращения другим объемом вращения. Алгоритм позволяет строить сетки в областях очень сложной геометрии, при этом не нужно задавать границу области сложной формы, достаточно описать объем вращения, деформирующий объем и указать параметры деформации. Алгоритм разработан в рамках вариационного подхода построения оптимальных сеток и является нестационарным: на каждой итерации меняется (деформируется) форма области, строится сетка для нее, затем сетка оптимизируется в соответствии с критериями оптимальности. Итерации повторяются до тех пор, пока деформация объема не достигнет требуемой формы. Алгоритм предназначен для моделирования процессов многокомпонентной гидродинамики, а также для решения других инженерных и прикладных задач. Алгоритм реализован в комплексе программ на языке C++

В работе предложен новый подход к построению расчетных сеток, являющихся элементно-адаптивными сетками, сгущающимися к элементам конструкций свайного фундамента. Построенные расчетные сетки ориентированы для использования в численных алгоритмах для проведения компьютерного моделирования температурных полей в грунте в области свайных фундаментов зданий северных городов, н аходящихся в криолитозоне. Особенностью таких свайных фундаментов является наличие в них разномасштабных элементов, таких, сваи и сезонно-действующие охлаждающие устройства. Наличие таких элементов создает проблемы, связанные с построением расчетных сеток. Отладка построенных расчетных сеток проводилась с использованием данных температурного мониторинга для конкретного жилого здания в городе Салехард и данных численных расчетов полученных с использованием геометрически-адаптивных сетках с выделенными зонами сгущения узлов. Качество новой расчетной сетки проверялось путем сравнения численных данных компьютерного моделирования с данными температурного мониторинга в термометрической скважине. Построенные расчетные сетки также сравнивались с использованными ранее расчетными сетками и показали свое преимущество перед ними. Было показано, что они позволяют повысить точность численных расчетов по нахождению тепловых полей в грунте в области свайного фундамента, уменьшить используемую машинную память и время счета.

The paper proposes a new approach to constructing computational grids, which are element-adaptive grids thickening to the elements of pile foundation structures. The constructed computational grids are intended for use in numerical algorithms for computer modeling of temperature fields in the soil in the area of pile foundations of buildings in northern cities located in the permafrost zone. A feature of such pile foundations is the presence of multi-scale elements in them, such as piles and seasonally operating cooling devices. The presence of such elements creates problems associated with constructing computational grids. Debugging of the constructed computational grids was carried out using temperature monitoring data for a specific residential building in the city of Salekhard and numerical calculation data obtained using geometrically adaptive grids with highlighted zones of node thickening. The quality of the new computational grid was verified by comparing the numerical data of computer modeling with the temperature monitoring data in a thermometric well. The constructed computational grids were also compared with previously used computational grids and showed their advantage over them. It was shown that they allow increasing the accuracy of numerical calculations for finding thermal fields in the soil in the area of the pile foundation, reducing the used machine memory and calculation time.

В работе проведен анализ различных подходов к аппроксимации неоднородных тепловых полей на поверхности проветриваемого подполья в зданиях со свайными фундаментами в криолитозоне. Неоднородности тепловых полей на основании данных температурного мониторинга возникают из-за возможных климатических воздействий, например, при попадании снега в проветриваемое подполье, или имеют техногенный характер в виде коммунальных аварий, приводящих к образованию наледей в зимнее время и изменению температуры поверхности. Весной и летом таяние таких наледей также меняет температурную картину поверхности. Корректное задание температуры на этой поверхности имеет важное значение при моделировании долгосрочной динамики изменения температуры грунта вокруг свайного фундамента, которая и определяет несущую способность грунта. Были рассмотрены следующие три метода аппроксимации данных температурного мониторинга: метод обратных взвешенных расстояний, триангуляционная нерегулярная сеть и радиально-базисные функции. В третьем методе были рассмотрены пять различных радиально-базисных функций. В ходе исследований был сделан вывод, что использования для аппроксимации мультиквадратичной радиально-базисной функции для поставленных задач является наиболее адекватным, что и было подтверждено в ходе проведения численных экспериментов для конкретного здания в городе Салехард.

The paper analyzes various approaches to approximating non-uniform thermal fields on the surface of a ventilated underground in buildings with pile foundations in the permafrost zone. Non-uniform thermal fields based on temperature monitoring data may be caused by possible climatic effects, such as snow falling into ventilated underground, or may be man-made in the form of utility accidents that cause ice formation in winter and changes in surface temperature. Melting of such ice also changes the surface temperature pattern in spring and summer. Correctly setting the temperature on this surface is important for modeling the long-term dynamics of soil temperature changes around a pile foundation, which determines the bearing capacity of the soil. The following three methods for approximating temperature monitoring data were considered: the inverse distance weighting method, the triangulated irregular network, and the radial basis functions. The third method considered five different radial basis functions. During the research, it was concluded that the use of a multiquadric radial basis function for approximation for the tasks set is the most adequate, which was confirmed during numerical experiments for a specific residential building in the city of Salekhard.

В данной работе рассматривается усредненная по глубине модель движения вязкой жидкости, предназначенная для компьютерного моделирования распространения вулканических лав. Описываются математические свойства модели, методы ее аппроксимации и алгоритмы численного решения ориентированные на применения современных гибридных вычислительных кластеров. Математическая модель представляет собой систему уравнений гиперболического типа, которая аппроксимирует законы сохранения массы и импульса в приближении тонкого слоя. Данные рельефа, реологические свойства жидкости и экструзия вещества из кратера задаются как неоднородные члены с системе. Предлагаемая математическая модель имеет преимущество вычислительной эффективности из-за ее двухмерности и включения высоты свободной поверхности в качестве переменной в основные уравнения. В работе обсуждаются параллельные компьютерные реализации рассматриваемой модели на основе OpenFOAM (MPI), OpenMP и OpenACC. Компьютерные коды реализованы на вычислительных кластерах с общей и распределенной памятью на CPU и GPU под управлением ОС Linux. Проведены верификация кодов на аналитическом решении задачи и профилирование кодов для многоядерных CPU с общей памятью и GPU.

Построен прмер отсутствия точек минимума в вариационной задаче на минимум некоторого функционала невязки. Вариационная задача имеет отношение к обратной задаче нахождения коэффициента температуропроводности в модели стационарной диффузии-адвекции-реакции. Функционал невязки представляет собой разность в некоторой метрике между моделируемым и наблюдаемым состоянием модели. Показано, что множество точек минимума функционала невязки пусто.

Эксплуатация железнодорожных путей в зоне распространения вечной мерзлоты связана с определенными требованиями к безопасности. Например, железнодорожные опоры мостов испытывают влияние климатических и динамических нагрузок, которые необходимо учесть при эксплуатации железнодорожных путей в таких условиях. Рассматривается конкретная аварийная опора железнодорожного моста через реку около Нового Уренгоя, которая опирается на 12 бетонных свай большого диаметра. Просадка этой опоры превышает допустимые параметры, что может привести к аварийной ситуации при движении поездов через такой железнодорожный мост, а последствиями могут стать экологические проблемы и большие экономические потери. На несущую способность свай влияет динамика изменения температурного режима грунта вокруг свай. Для описания динамики изменения температурных полей в грунте в предложенной математической модели учитывается предыстория изменения температуры грунта, начиная с 1983 г., с учетом температурного тренда потепления климата, характерного для этого региона. Также в модели учтены показатели солнечного излучения в летние месяцы и наличие снежного покрова в зимний период. Проведенные численные расчеты позволили дать долгосрочный прогноз по развитию аварийных ситуаций, а также выработать рекомендации для их предотвращения и минимизации последствий.

The operation of railways in the permafrost zone is associated with certain safety requirements. For example, railway bridge supports are influenced by climatic and dynamic loads, which have to be considered when operating railways in such conditions. We consider a specific emergency support for a railway bridge across a river near Novy Urengoy city, which rests on 12 large-diameter concrete piles. The subsidence of this support exceeds the permissible parameters, which can lead to an emergency when trains move across the bridge, the consequences of which can be both environmental problems and large economic losses. T he bearing capacity of piles is affected by the dynamics of changes in the temperature regime of the soil around the piles. To describe the dynamics of changes in temperature fields in the soil, the proposed mathematical model considers the history of changes in soil temperature, starting from 1983, taking into account the temperature trend of climate warming characteristic of this region. The model also includes consideration of solar radiation in the summer months and the presence of snow cover in winter. T he numerical calculations carried out made it possible to give a long-term forecast for the development of emergency situations at such facilities, as well as to develop recommendations for their prevention and minimization of consequences.

Исследованы задачи оптимального управления в классе кусочно-непрерывных управлений с гладкими геометрическими ограничениями на фиксированном промежутке времени линейной автономной системой с двумя независимыми малыми положительными параметрами, один из которых является множителем при части производных в уравнениях системы, а второй - в начальных условиях. Показатель качества - выпуклый терминальный, зависящий от значений медленных и быстрых переменных в конечный момент времени или только от медленных. Получены и обоснованы полные асимптотические разложения вектора, порождающего оптимальное управление, относительно малых параметров.

Описывается алгоритм морфинга, пополнивший технологию построения трехмерных структурированных сеток, предназначенную для численного решения дифференциальных уравнений, моделирующих вихревые процессы многокомпонентной гидродинамики. Алгоритм морфинга предназначен для построения структурированных сеток особой структуры в объемах, полученных деформацией объемов вращения телами, образованными поверхностями вращения с параллельными осями. Алгоритм разработан в рамках вариационного подхода построения оптимальных сеток. Ранее этот алгоритм был реализован для построения структурированных сеток в объемах вращения, деформированных другими объемами вращения. Приводятся примеры расчетов сеток.

Global climate warming challenges the permafrost areas losing the frozen state and stability. Industrial development and human activity in these regions also contributes to the degradation of permafrost. The construction of residential buildings and their operation in these territories mainly involves maintaining the soil under these structures in a frozen state throughout the entire period of their operation. For these purposes, pile foundations and ventilated crawl spaces are used. The basements may also include the devices aiding stabilize the soil. For example, it could be hundreds of the seasonally operating cooling devices. An urgent task is long-term forecasting of the dynamics of changes in the bearing capacity of a pile foundation of a building, considering climatic and technogenic impacts on the surrounding soil. A new model and numerical algorithm were developed to study the dynamics of changes in the bearing capacity of piles during the operation of the building, considering temperature monitoring data from temperature sensors located in thermometric wells. Validation of the developed software package was carried out based on the existing and constantly arriving data on soil temperature monitoring to a depth of 10 meters on the server. A comparison of the obtained monitoring data and the calculated data in thermometric wells showed a significant improvement compared to the previously used model and calculation program for this residential building.

Вулканические извержения и сопровождающие их потоки лавы представляют собой значительную опасность для населения, построек и инфраструктуры региона. Лава может распространяться в очень больших пространственных областях, для которых детальное трехмерное моделирование этого процесса сводится к решению дискретных задач очень большой размерности и может оказаться неэффективным. В областях, для которых отношение вертикального размера течения к его горизонтальному размеру достаточно мало, применяются математическая модели, основанные на усредненных по глубине уравнениях движения вязкой среды. В данном исследовании такая модель состоит в совместном решении уравнений для толщины лавы, двумерных уравнений движения, кинетики кристаллов, уравнения теплового баланса с учетом нелинейного конвективного и радиационного обменов энергии с внешней средой и учетом энергии диссипации и скрытой теплоты кристаллизации. Численно математическая модель реализована в пакете с открытым исходным кодом OpenFOAM, что позволяет использовать современные высокопроизводительные вычислительные кластеры для проведения численных экспериментов, и позволяет легко адаптировать ее, учитывая конкретные физические аспекты для моделируемого природного процесса. Проведена верификация кодов на аналитическом решении задачи и сравнении тестового решения с моделью, основанной на уравнениях движения двухфазной несжимаемой жидкости в пространственной области. Исследовано влияние на поток реологических характеристик потока на примере модели Ньютона по сравнению с моделью Бингама и нелинейной моделью Гершеля–Балкли. Нелинейная реология жидкости учитывает зависимости фактической вязкости лавового потока от температуры, скорости сдвига, предела текучести (предел текучести и степень нелинейности также зависят от температуры). Параллельные компьютерные коды реализованы на основе OpenMPI для вычислительных кластеров с общей и распределенной памятью под управлением ОС Linux. Проведено профилирование кодов для многоядерных CPU с общей памятью.

In Russia, the reserves of underground glaciations of the permafrost zone takes up to about 19000 km^3. These areas occupies an area of about 65% of the entire territory and are most related to the Northern territories. In China, the permafrost area takes about 1.72 X10^6 km^2 most in Highlands and the total ground ice reserve on the Qinghai-Tibetan Plateau is estimated to be about 11000 km^3. The climate changing and various technogenic influences can lead to permafrost thawing and the following accidents, thermokarst processes, and losing bearing capacity. Modeling of thermal fields in frozen soil is an important problem, since the stability of various engineering structures depends on the preservation of the negative temperatures in the soil. The proposed mathematical model and developed software for long-term forecasting of changes in the bearing capacity of the soil around pile structures also include temperature observation data in thermal wells, as well as the temperature trend of climate change characteristic of the considered region.

Значительная часть территории России находится в криолитозоне, освоение которой связано с определенными трудностями, возникающими из-за потери несущей способности грунтов в результате техногенных и климатических воздействий. Снижение несущей способности грунтов оснований капитальных сооружений может приводить к серьезным техногенным авариям [1]. Рассматриваются задачи теплофизики, возникающие при исследовании устойчивости инженерной инфраструктуры, расположенной в регионах распространения вечной мерзлоты. В основном это будут свайные фундаменты жилых домов [2], опоры железнодорожных мостов [3] и кустовые площадки северных нефтегазовых месторождений [4]. Рассмотрены основные теплофизические задачи, описывающие эти процессы, в том числе и с использованием online системы температурного мониторинга грунта под зданиями в городе Салехард. При компьютерном моделировании учитываются данные температурного мониторинга и предыстория развития температурных изменений в области моделирования, но не учитываесят возможного движения воды в грунте, как это учитывалось, например в [6].

Исследуются прямая и обратная задачи для модели стационарной реакции-конвекции-диффузии. Для реконструкции коэффициента поглощения применяется вариационный метод. Разработан и реализован алгоритм численного решения поставленной обратной задачи. Проведена серия вычислительных экспериментов по восстановлению различных коэффициентов поглощения.

Рассматривается усредненная по глубине модель движения вязкой жидкости, предназначенная для компьютерного моделирования распространения вулканических лав. Описываются математические свойства модели, методы ее аппроксимации и алгоритмы численного решения в пакетах OpenFOAM, OpenMP и OpenACC. Математическая модель представляет собой систему уравнений гиперболического типа в плоской области, которая аппроксимирует законы сохранения массы и импульса в приближении тонкого слоя.

Исследуются прямая и обратная задачи для модели стационарной реакции-конвекции-диффузии. Прямая задача состоит в нахождении обобщенного или сильного решения соответствующей краевой задачи при всех заданных параметрах модели. Указываются условия обобщенной или сильной разрешимости прямой задачи, приводятся априорные оценки на решения, установлена непрерывная зависимость того или иного решения прямой задачи от ряда параметров в различных метриках. Обратная задача состоит в нахождении априори неизвестного коэффициента поглощения в среде, характеризующего поглощение некоторой субстанции (или сток тепла) в химическом процессе. Дополнительной информацией для решения обратной задачи является результат измерения потока субстанции (или потока тепла) на доступной части границы области, где протекает процесс. Доказано, что обратная задача некорректна. Приведены примеры, показывающие, что обратная задача неустойчива по отношению к возмущению измеряемой величины и может иметь несколько решений. Для решения обратной задачи предложен вариационный метод, основанный на минимизации некоторого подходящего функционала невязки (целевого функционала). Исследованы экстремальные свойства задачи минимизации функционала невязки. Найдена явная аналитическая формула для вычисления градиента функционала невязки и выписаны соответствующие сопряженная система и система оптимальности. Указано несколько устойчивых итерационных методов минимизации функционала невязки. Проведено численное моделирование решения обратной задачи.

Direct and inverse problems for the stationary reaction–convection–diffusion model are studied. The direct problem is to find a generalized or strong solution to the corresponding boundary value problems for all given model parameters. Conditions for generalized or strong solvability of the direct problem are given, a priori estimates for solutions are presented, and a continuous dependence of a solution to the direct problem on a number of parameters is established in various metrics. The inverse problem consists of finding the a priori unknown absorption coefficient of a medium, which characterizes the absorption of some substance (or heat sink) in a chemical process. Additional information for solving the inverse problem is the result of measuring the substance (or heat) flow on the accessible part of the boundary of the region where the process takes place. It is proved that the inverse problem is ill-posed. Examples are given showing that the inverse problem is unstable under the disturbance of the measured quantity and may have several solutions. To solve the inverse problem, a variational method based on the minimization of some suitable residual functional (objective functional) is proposed. The extremal properties of the problem of minimizing the residual functional are studied. An explicit analytical formula is found for calculating the gradient of the residual functional, and the corresponding adjoint system and optimality system are written. Several stable iterative methods for minimizing the residual functional are proposed. Numerical modeling of the solution to the inverse problem is carried out.

Описывается алгоритм построения структурированных сеток в деформированных объемах вращения для случаев деформации объемами, образованными поверхностями вращения с параллельными осями вращения (называемыми обобщениями объемов вращения). Предложенный алгоритм является дальнейшим развитием нестационарного алгоритма построения структурированных сеток в областях с подвижными границами. Ранее этот алгоритм был разработан для случаев деформации объема вращения другим объемом вращения. Алгоритм позволяет строить сетки в областях очень сложной геометрии, при этом не нужно задавать границу области сложной формы, достаточно описать объем вращения, деформирующий объем и указать параметры деформации. Алгоритм разработан в рамках вариационного подхода построения оптимальных сеток и является нестационарным: на каждой итерации меняется (деформируется) форма области, строится сетка для нее, затем сетка оптимизируется в соответствии с критериями оптимальности.

Lava domes form during effusive eruptions due to an extrusion of highly viscous magmas from volcanic vents. In this paper we present a numerical study of the lava dome growth at Volcán de Colima, Mexico during 2007-2009. The mathematical model treats the lava dome extrusion dynamics as a thermo-mechanical problem. The equations of motion, continuity, and heat transfer are solved with the relevant boundary and initial conditions in the assumption that magma viscosity depends on the volume fraction of crystals and temperature. We perform several sets of numerical experiments to analyse the internal structure of the lava dome (i.e., the distributions of the temperature, crystal content, viscosity, and velocity) depending on various heat sources and thermal boundary conditions. Although the lava dome growth at Volcán de Colima during short (a few months) dome-building episodes can be explained by an isothermal model of lava extrusion with the viscosity depending on the volume fraction of crystals, we show here that cooling plays a significant role during long (up to several years) episodes of dome building. A carapace develops as a response to a convective cooling at the lava dome-air interface. The carapace becomes thicker if the radiative heat loss at the interface is also considered. The thick carapace influences the lava dome dynamics preventing its lateral advancement. The latent heat of crystallization leads to an increase of the temperatures in the lava dome interior and to a relative flattening of the dome. Meanwhile, the heat source due to viscous dissipation is negligible, and it does not influence the lava dome growth. The developed thermo-mechanical model of the lava dome dynamics at Volcán de Colima can be used elsewhere to analyze effusive eruptions, dome morphology, and carapace evolution including its failure potentially leading to pyroclastic flow hazards.

Для снижения капитальных затрат по обустройству нефтегазовых месторождений в районах распространения вечной мерзлоты разработаны математические модели и алгоритмы по моделированию тепловых нестационарных трехмерных полей в грунте от добывающих и нагнетательных скважин, учитывающие географические и климатические особенности конкретного нефтегазового месторождения. Проведенные численные расчеты показали, что, используя предложенные алгоритмы и различные варианты эксплуатации скважин, можно существенно сократить расстояние между соседними скважинами.

Проведены расчёты нестационарных тепловых полей в мёрзлых грунтах оснований фундаментов двух зданий в г. Салехарде. Моделирование проводилось с учетом особенностей конструкций свайных фундаментов, эксплуатируемых по принципу сохранения мерзлого состояния грунта. Показана необходимость учёта всего цикла работы сезонных охлаждающих устройств при расчётах для теплотехнических расчётов. Проведенные расчеты несущих способностей свай для зданий I и II показали, что для здания I наблюдается увеличение несущих способностей свай, для здания II ситуация в зоне свайного фундамента стабильная. Рекомендуется проводить дальнейший мониторинг и анализ изменения динамики несущих способностей свай для зданий I и II.

. Calculations of non-stationary thermal fields in frozen soils of the foundations of two buildings in Salekhard were carried out. The modeling was carried out taking into account the features of pile foundation structures operated on the principle of preserving the frozen state of the soil. The necessity of taking into account the entire cycle of operation of seasonal cooling devices in calculations for thermal engineering calculations is shown. The calculations of the bearing capacity of piles for buildings I and II showed that for building I there is an increase in the bearing capacity of piles, for building II the situation in the pile foundation area is stable. It is recommended to carry out further monitoring and analysis of changes in the dynamics of the bearing capacity of piles for buildings I and II.

A new model and computer program have been developed to describe the propagation of non-stationary thermal fields in frozen soils with complex lithology for pile foundations of capital construction projects. The results obtained were used to predict changes in the dynamics of the bearing capacity of soil for the emergency support structure of a railway bridge in the permafrost zone. This support structure consists of 12 large-diameter piles, for which solar radiation is also considered for the piles located on the southern part of the support structure, which makes it possible to observe the effect of a thermal bridge, when during the summer season the accumulated heat spreads deeper and faster into the pile than through the ground due to higher thermal conductivity of the pile concrete. In the approach the prehistory of the thermal processes in the soil foundation is essential for the bearing capacity estimation. The results of numerical calculations are presented.

In this paper, we investigate a problem of optimal control over a finite time interval for a linear system with constant coefficients and a small parameter in the initial data in the class of piecewise continuous controls with smooth geometric constraints. We consider a terminal convex performance index. We substantiate the limit relations as the small parameter tends to zero for the optimal value of the performance index and for the vector generating the optimal control in the problem. We show that the asymptotics of the solution can be of complicated nature. In particular, it may have no expansion in the Poincar´e sense in any asymptotic sequence of rational functions of the small parameter or its logarithms.

Рассматривается волновое уравнение для диэлектрических немагнитных сред, полученное из системы уравнений Максвелла в рамках нелинейной оптики при классическом подходе. Уравнение описывает динамику поля излучения в стеклах, жидкостях, газах, многих кристаллах. Анализ динамики электрического поля излучения можно провести, только зная вид поляризационного отклика среды на силовое воздействие этого поля. Поэтому волновое уравнение можно считать недоопределенным. Оно содержит члены, зависящие от E=E(x,y,z,t) — напряженности электрического поля излучения, и член, зависящий от поляризационного отклика среды P=P(x,y,z,t). В работе предлагается метод решения такого недоопределенного уравнения. Поскольку поляризационный отклик среды происходит на силовое воздействие электрического поля излучения, в работе предполагается, что P=P(E), E(x,y,z,t)=const задает поверхность уровня функции P. При таком предположении волновое уравнение сводится к ОДУ. Независимой переменной в ОДУ является функция E. Функция E=E(x,y,z,t) определяется после решения уравнения в частных производных первого порядка (базового уравнения) Et=f0(E). Решение ОДУ и вид E=E(x,y,z,t) (следовательно, динамика поля излучения) зависят от выбора произвольной функции f0(E). В работе выписан вид E=E(x,y,z,t) и P=P(E) для четырех функций f0(E). Эти решения имеют константный произвол.

For dielectric nonmagnetic media, we consider a wave equation obtained from the system of Maxwell's equations in the framework of nonlinear optics with the classical approach. The equation describes the dynamics of the radiation field in glasses, liquids, gases, and many crystals. The dynamics of the electric field of radiation can be analyzed only with the knowledge of the polarization response of the medium to the force action of this field. Therefore, the wave equation can be considered underdetermined. It contains terms depending on the intensity E=E(x,y,z,t) of the electric field of the radiation and a term depending on the polarization response of the medium P=P(x,y,z,t). We propose a method for solving this underdetermined equation. Since the polarization response of the medium is caused by the force action of the electric field of radiation, we assume that the equation P=P(E), E(x,y,z,t)=const, defines a level surface of the function P. Under this assumption, the wave equation reduces to an ODE. The independent variable in the ODE is the function E. The function E=E(x,y,z,t) is found by solving the first-order partial differential equation (the basic equation) Et=f0(E). The solution of the ODE and the form of E=E(x,y,z,t) (hence, the dynamics of the radiation field) depend on the choice of an arbitrary function f0(E). The form of E=E(x,y,z,t) and P=P(E) is written for four functions f0(E). These solutions are found up to an arbitrary constant.

A system of equations of unsteady spatial free convection of an incompressibleviscous fluid in the Boussinesq approximation is considered. The analysis is based on themethods of reduction of linear and nonlinear partial differential equations (PDEs) and systemsof PDEs to ordinary differential equations (ODEs) and systems of ODEs. These methods wereproposed by the authors earlier, and their general principles are given in the paper. The methodsare based on the construction of a system of equations of characteristics for a first-order PDE(the basic equation). This equation is constructed in a certain way by analyzing the originalsystem of equations. The reductions lead to ODEs or systems of ODEs in which an independentvariableψis such that the equationψ(x, y, z, t) = const defines a level surface for all unknownfunctions of the original system of PDEs. The methods are applicable to PDEs and systemsof PDEs regardless of their type. The Oberbeck–Boussinesq equations are reduced to a systemof ODEs with a functional arbitrariness, and an exact solution with a constant arbitrarinessis found for the original system. The functionalarbitrariness in the constructed reductionalso yielded a system of ODEs in which the temperatureTis an independent variable. For thissystem exact solutions are found. A possible (vortex or vortex-free) motion of an incompressiblefluid with free convection is analyzed. The cases of vortex and vortex-free motion of the fluidare identified. An exact solution defining a vortex-free motion of the fluid is written as a resultof reductions for the original system of PDEs

Рассматривается система уравнений нестационарной пространственной естественной конвекции несжимаемой вязкой жидкости в приближении Буссинеска. Авторы применяют ранее предложенные ими методы редукции линейных и нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными (УЧП) и систем УЧП к уравнениям и системам обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). В работе описаны общие принципы подходов, развиваемых авторами. Методы основаны на построении системы уравнений характеристик для некоторого базового уравнения в частных производных первого порядка. Базовое уравнение определенным образом конструируется при анализе исходной системы уравнений. Редукции приводят к ОДУ и системам ОДУ, в которых независимая переменная ψ, такова, что уравнение ψ(x, y, z, t) = const задает поверхность уровня для некоторых неизвестных функций исходной системы УЧП. Методы применимы к УЧП и системам УЧП независимо от их типа. Получена редукция уравнений Обербека - Буссинеска к системе ОДУ, имеющей функциональный произвол. Найдено точное решение исходной системы, имеющее константный произвол. Функциональный произвол в построенной редукции позволил также получить систему ОДУ, в которой независимой переменной является температура T . Для этой системы также найдены точные решения. В работе проведен анализ возможного движения несжимаемой вязкой жидкости (вихревое или безвихревое) при естественной конвекции. Выделены случаи, когда движение жидкости является вихревым и случаи, когда осуществляется безвихревое движение. Для исходной системы УЧП в результате редукции выписано точное решение, определяющее безвихревое движение жидкости.

A system of equations of unsteady spatial free convection of an incompressible viscous fluid in the Boussinesq approximation is considered. The analysis is based on the methods of reduction of linear and nonlinear partial differential equations (PDEs) and systems of PDEs to ordinary differential equations (ODEs) and systems of ODEs. These methods were proposed by the authors earlier, and their general principles are given in the paper. The methods are based on the construction of a system of equations of characteristics for a first-order PDE (the basic equation). This equation is constructed in a certain way by analyzing the original system of equations. The reductions lead to ODEs or systems of ODEs in which an independent variable ψ is such that the equation ψ(x, y, z, t) = const defines a level surface for all unknown functions of the original system of PDEs. The methods are applicable to PDEs and systems of PDEs regardless of their type. The Oberbeck–Boussinesq equations are reduced to a system of ODEs with a functional arbitrariness, and an exact solution with a constant arbitrariness is found for the original system. The functional arbitrariness in the constructed reduction also yielded a system of ODEs in which the temperature T is an independent variable. For this system exact solutions are found. A possible (vortex or vortex-free) motion of an incompressible fluid with free convection is analyzed. The cases of vortex and vortex-free motion of the fluid are identified. An exact solution defining a vortex-free motion of the fluid is written as a result of reductions for the original system of PDEs

realization of an adaptation criterion in the technology of generation of threedimensional structured grids designed for the numerical solution of differential equations modeling the vortex processes of multi-component hydrodynamics is described. Earlier the adaptation criterion was realized for domains of revolution and domains of revolution deformed by other domains of revolution. The adaptation criterion is realized within a variational approach for the construction of optimal grids satisfying optimality criteria: closeness of the grid to a uniform and orthogonal one and adaptation to a given function. In the realization of the criterion, the technology is supplemented by a new method of boundary nodes computation and an algorithm for the construction of an admissible set for minimization of a discrete functional formalizing the optimality criteria. Examples of grids adapted to a given function and its first derivatives are given.

Разработаны новые модели и компьютерные программы по распространению нестационарных тепловых полей в мёрзлых грунтах со сложной литологией с учетом особенностей конструкций свайных фундаментов северных городов, эксплуатируемых по принципу сохранения мерзлого состояния грунта с использованием сезоннодействующих охлаждающих устройств. Проведена оценка несущих способностей свай в городе Салехард для конкретного жилого дома, для которого фактически разработана цифровая модель, позволяющая учитывать данные температурного мониторинга в режиме реального времени и прогнозировать изменения несущих способностей свайного фундамента.

Исследуются обратные коэффициентные задачи для моделей динамики вязкой жидкости. Упомянутые модели используются для описания различных процессов в науке и технике, в частности, для описания различных геофизических процессов, например, в вулканологии.

Рассматриваются три типа задач, связанных с задачами тепломассопереноса в грунте. Первый класс задач связан с диагностикой повреждений подземных трубопроводов по тепловым полям на поверхности грунта. Второй тип задач посвящен исследованию динамики изменения температуры геотермального резервуара в зависимости от температуры воды, поступающей в этот резервуар, и перепада давлений между нагнетательными и добывающими скважинами. Третий класс задач посвящен изучению распространения нестационарных тепловых полей в грунте от эксплуатируемых технических систем в районе распространения вечной мерзлоты. Основное внимание уделено долгосрочному прогнозированию распространения нестационарных тепловых полей в мерзлом грунте между работающими добывающими скважинами северных нефтегазовых месторождений. В первых двух классах задач, которые послужили основой для разработки задач третьего типа, учитывается фильтрация жидкости в грунте, а тепловые поля распространяются в однофазных средах. В третьем классе задач учитываются возможные фазовые переходы в грунте при описании нестационарных тепловых полей в многолетнемерзлых грунтах, приводящих к задачам типа Стефана. Учет миграции жидкости для конкретных рассматриваемых задач третьего типа, связанных с определением радиуса оттаивания мерзлого грунта от добывающих скважин на северных нефтегазовых месторождениях, не оказывает существенного влияния на этот процесс, поскольку боковая миграция воды выше уровня грунтовых вод минимальна. Поэтому учитывается только скрытая теплота начального содержания воды. В предложенной работе рассматривается математическая модель, содержащая наиболее существенные физические и климатические данные, влияющие на распространение тепловых полей в многолетнемерзлых породах, приводятся результаты численных расчетов.

Three types of problems related to problems of heat and mass transfer in the soil are considered. The first class of problems deals with the diagnostics of damage of underground pipelines by thermal fields on the soil surface. The second type studies the dynamics of changes in the temperature of a geothermal reservoir depending on the temperature of the water entering this reservoir and the pressure gap between injection and production wells. The third-type problems consider the propagation of non-stationary thermal fields in the soil from operated engineering systems in the permafrost. The main attention is paid to long-term forecasting of the propagation of non-stationary thermal fields in the frozen soil between operating production wells of northern oil and gas fields. In problems of the first two classes, which served as a basis for the development of problems of the third type, water filtration in the soil is considered, and thermal fields propagate in single-phase media. The third-class problems take into account possible phase transitions in the soil when describing non-stationary thermal fields in permafrost soils, leading to Stefan-type problems. Accounting for water migration for the specific third-type problems on the determination of the radius of frozen soil thawing from production wells in northern oil and gas fields does not significantly affect this process since lateral water migration above the groundwater level is minimal. Therefore, only the latent heat of the initial water content is taken into consideration. This paper discusses a mathematical model containing the most significant physical and climatic data affecting the distribution of thermal fields in permafrost rocks and presents the results of numerical calculations.

Эксплуатация северных нефтегазовых месторождений предполагает определенные плановые технологические операции, связанные, например, с остановками скважин для профилактики, использованием вертикальных, или горизонтальных факельных систем для утилизации попутного газа, сезоннодействующих охлаждающих устройств для термостабилизации грунта и т. п. При численном моделировании таких задач, или аналогичных задач в геотермии, важным является выбор размера расчетной области, чтобы граничные условия не оказывали влияния на получаемое решение, а также данные температурного мониторинга грунта при адаптации алгоритма к конкретным географическим координатам. В отличии от используемых ранее настроек привязки алгоритма к конкретному географическому месту в работе используется новый метод привязки. Если раньше для этого использовались только замеры температур в разведочных скважинах по глубине и ежегодное циклическое повторение рассчитываемой температуры в разведочной скважине, то в данной работе учитывается и температура на глубине 10 метров.

Несущая способность грунтов оснований различных инженерных сооружений на многолетнемерзлых грунтах зависит от температуры грунта. Железнодорожные опоры мостов испытывают влияние от климатических и динамических нагрузок, которые необходимо учесть при эксплуатации железнодорожных путей в таких условиях. Рассматривается железнодорожная опора моста, состоящая из 12 свай большого диаметра, которая находится в аварийном состоянии. Проведено компьютерное моделирование изменения динамики температуры грунта вокруг этих свай начиная с 1983 года и до 2033 с учетом тренда на потепление климата и солнечного излучения. Показано, что снижение несущей способности грунтов основания может достигнуть критических значений. Для замедления таких процессов предлагается использовать термостабилизацию грунта.

Abstract—Direct and inverse problems for a model of stationary reaction–convection–diffusion are studied. The direct problem is to find a solution to the corresponding boundary value problem for given parameters of the model. Solvability conditions are specified for the direct problem, a priori estimates of the solution are presented, and the continuous dependence of the solution to the direct problem on a number of parameters is established. The inverse problem consists in finding the a priori unknown absorption coefficient of the medium, which characterizes the decay of some substance (or the heat sink) in a chemical process. The results of measuring the concentration of a substance (or its temperature) on an available part of the boundary of the domain filled with the corresponding medium (the domain of change of the spatial variable) are used as additional information for solving the inverse problem. It is proved that the inverse problem is ill-posed. Examples are given demonstrating that the inverse problem is unstable with respect to changes of the measured value and may have several solutions. To solve the inverse problem, a variational method based on the minimization of some appropriate residual functional (a target functional) is suggested. The extremal properties of the problem of minimizing the residual functional are studied. An explicit analytical formula is found for calculating the gradient of the residual functional, and the corresponding adjoint system and optimality system are written. Several stable iterative methods for minimizing the residual functional are specified. Results of numerical simulation of the solution to the inverse problem are presented.

В работе проводится численное исследование формирования лавовых куполов. Математическая модель, описывающая такое движение, задается уравнением Навье--Стокса и уравнением неразрывности с соответствующими начальными и граничными условиями. Для численного моделирования данной задачи применялся метод сглаженных частиц, который является лагранжевым бессеточным методом.

Представлен обзор более полувекового развития вариационного подхода построения оптимальных сеток, предложенного А.Ф. Сидоровым. Изложены концепция подхода, основу которой в качестве критериев оптимальности сеток составляют требования близости сетки к равномерной, ортогональной и адаптации к заданной функции или решению уравнений в частных производных, и ее применение для построения структурированных сеток в двумерных и трехмерных областях геометрически сложной формы. Описываются созданные алгоритмы построения сеток и их приложения. Обзор поделен на два периода: годы жизни ученого и последующие годы. Конструкции функционалов, формализующих критерии оптимальности сеток, изложены применительно к единой технологии построения сеток, созданной во второй период для численного моделирования вихревых процессов многокомпонентной гидродинамики. Приводятся примеры расчетов сеток по развиваемому в настоящее время в рамках указанной технологии алгоритму построения сеток в объемах, полученных деформациями объемов вращения с помощью обобщений объемов вращения. Под объемом вращения понимается конструкция, образованная вращением плоской образующей кривой, состоящей из отрезков прямых, дуг окружностей и эллипсов, называемых элементами, на 180 градусов вокруг оси. Обобщение объема вращения представляет собой объем, образованный поверхностями, полученными вращением элементов плоских образующих кривых на 180 градусов вокруг параллельных осей. Деформированный объем вращения представляет собой объем, полученный деформацией объема вращения другим объемом вращения или его обобщением. Случаи объемов вращения, обобщений объемов вращения, объемов вращения, деформированных объемами вращения, сформировали описываемую технологию построения сеток. Базовой конструкцией в технологии является объем вращения, позволивший осуществлять ее дальнейшее развитие в направлении усложнения конструкций. В настоящее время возможно строить структурированные сетки в очень сложных трехмерных областях. Такая возможность появилась благодаря применению техники подвижных сеток, естественным образом реализуемой в вариационных конструкциях, и разработки нестационарного алгоритма, осуществляющего деформацию объема вращения до нужной деформированной формы, деформацию и оптимизацию сетки с целью удовлетворения критериев оптимальности.

Рассматривается задача оптимального управления на фиксированном промежутке времени линейной системой с постоянными коэффициентами с малым параметром в начальных условиях и терминальным критерием качества в классе кусочно-непрерывных управлений с гладкими геометрическими ограничениями. Обоснованы предельные соотношения для оптимального значения функционала качества и вектора, определяющего оптимальное управление, при стремлении малого параметра к нулю. Показано, что асимптотика решения может иметь сложный характер. В частности, может не раскладываться в асимптотический ряд в смысле Пуанкаре ни по какой асимптотической последовательности рациональных функций от малого параметра и логарифмов от него.

In this paper, we investigate a problem of optimal control over a finite time interval for a linear system with constant coefficients and a small parameter in the initial data in the class of piecewise continuous controls with smooth geometric constraints. We consider a terminal convex performance index. We substantiate the limit relations as the small parameter tends to zero for the optimal value of the performance index and for the vector determining the optimal control in the problem. We show that the asymptotics of the solution can be of complicated nature. In particular, it may have no expansion in the Poincare sense in any asymptotic sequence of rational functions of the small parameter or its logarithms.

Рассматривается задача оптимального управления линейной автономной системой с медленными и быстрыми переменными на фиксированном промежутке времени в классе кусочно-непрерывных управлений с гладкими геометрическими ограничениями в виде шара. Показатель качества — терминальный выпуклый, зависящий от медленных и быстрых переменных. Обосновано предельное соотношение для вектора, определяющего управляющую функцию, при стремлении малого параметра к нулю. Предельное соотношение уточняется для случая задачи непрямого управления с терминальным показателем качества, представляющим собой сумму значений двух строго выпуклых непрерывно дифференцируемых функций, первая из которых зависит только от медленных переменных, а вторая — только от быстрых и с минимумом в нуле. При этом показано, что первая компонента определяющего вектора сходится к определяющему вектору предельной задачи, а вторая компонента стремится к нулю. Получена полная асимптотика определяющего вектора по степеням малого параметра в задаче непрямого управления системой материальных точек в среде с сопротивлением.

В статье представлен обзор более полувекового развития вариационного подхода построения оптималь- ных сеток, предложенного А.Ф.Сидоровым. Изложены концепция подхода, основу которой в качестве критериев оптимальности сеток составляют требования близости сетки к равномерной, ортогональной и адаптации к заданной функции или решению уравнений в частных производных, и ее применение для построения структурированных сеток в двумерных и трехмерных областях геометрически сложной формы. Описываются созданные алгоритмы построения сеток и их приложения. Обзор поделен на два периода: годы жизни ученого и последующие годы. Конструкции функционалов, формализующих крите- рии оптимальности сеток, изложены применительно к единой технологии построения сеток, созданной во второй период для численного моделирования вихревых процессов многокомпонентной гидродинамики. Приводятся примеры расчетов сеток по развиваемому в настоящее время в рамках указанной техноло- гии алгоритму построения сеток в объемах, полученных деформациями объемов вращения с помощью обобщений объемов вращения. Под объемом вращения понимается конструкция, образованная вращением плоской образующей кривой, состоящей из отрезков прямых, дуг окружностей и эллипсов, называемых элементами, на 180◦ вокруг оси. Обобщение объема вращения представляет собой объем, образованный поверхностями, полученными вращением элементов плоских образующих кривых на 180◦ вокруг парал- лельных осей. Деформированный объем вращения представляет собой объем, полученный деформацией объема вращения другим объемом вращения или его обобщением. Случаи объемов вращения, обобще- ний объемов вращения, объемов вращения, деформированных объемами вращения, сформировали опи- сываемую технологию построения сеток. Базовой конструкцией в технологии является объем вращения, позволивший осуществлять ее дальнейшее развитие в направлении усложнения конструкций. В настоя- щее время возможно строить структурированные сетки в очень сложных трехмерных областях. Такая возможность появилась благодаря применению техники подвижных сеток, естественным образом реа- лизуемой в вариационных конструкциях, и разработки нестационарного алгоритма, осуществляющего деформацию объема вращения до нужной деформированной формы, деформацию и оптимизацию сетки с целью удовлетворения критериев оптимальности.

A survey of the more than a half-century development of the variational approach to the generation of optimal grids suggested by A.F. Sidorov is presented in the paper. The idea of the approach is based on the requirements that the grid is close to a uniform orthogonal grid and is adjusted to a given function or to the solution of partial differential equations; these requirements are chosen as optimality criteria. The implementation of this idea for the generation of structured grids in two- and three-dimensional domains of geometrically complex shape is given. The developed grid generation algorithms and their applications are described. The survey is divided into two periods: the years of Sidorov’s life and the subsequent years. The constructions of the functionals that formalize the grid optimality criteria are presented in relation to a unified technology created in the second period for the numerical simulation of vortex processes in multicomponent hydrodynamics. Examples of grid calculations are given using the currently developed grid generation algorithm in volumes obtained by deformations of volumes of revolution by generalizations of volumes of revolution. A volume of revolution is understood as a shape formed by the rotation of a plane generatrix consisting of segments of straight lines, arcs of circles, and ellipses, called elements, by 180◦ around an axis. A generalization of a volume of revolution is a volume formed by surfaces obtained by rotating elements of plane generatrices by 180◦ about parallel axes. A deformed volume of revolution is a volume obtained by deforming a volume of revolution by another volume of revolution or by a generalization of the volume of revolution. The cases of volumes of revolution, generalizations of volumes of revolution, and volumes of revolution deformed by volumes of revolution have formed the described grid generation technology. A basic structure in the technology is a volume of revolution, which made it possible to carry out its further development in the direction of complication of shapes of domains. At present, it is possible to build structured grids in very complicated three-dimensional domains. This possibility appeared due to the application of the moving grid technique, which is naturally implemented in variational constructions, and also due to the development of a nonstationary algorithm that deforms a volume of revolution up to a desired deformed shape and deforms and optimizes the grid in order to satisfy the optimality criteria. Keywords: structured

In this chapter, we review basic methods for data assimilation used in geodynamic modelling: backward advection (BAD), variational/adjoint (VAR), and quasi reversibility (QRV). The VAR method is based on a search for model parameters (e.g. mantle temperature and flow velocity in the past) by minimising the differences between present observations of the relevant physical parameters (e.g. temperature derived from seismic tomography, geodetic measurements) and those predicted by forward models for an initial guess temperature. The QRV method is based on introduction of the additional term involving the product of a small regularisation parameter and a higher-order tempera ture derivative into the backward heat equation. The data assimilation in this case is based on a search of the best fit between the forecast model state and the observations by minimising the regularisation parameter. To demonstrate the applicability of the considered data assimilation methods, a numerical model of the evolution of mantle plumes is considered. Also, we present an application of the data assimilation to dynamic restoration of the thermal state of the mantle beneath the Japanese islands and their surround ings. The geodynamic restoration for the last 40 million years is based on the assimilation of the present temperature inferred from seismic tomography, and constrained by the present plate movement derived from geodetic observations, and paleogeographic and paleomagnetic plate reconstructions. Finally, we discuss some challenges, advantages, and disadvantages of the data assimilation methods.

Lava flow and lava dome growth are two main manifestations of effusive volcanic eruptions. Less-viscous lava tends to flow long distances depending on slope topography, heat exchange with the surroundings, eruption rate, and the erupted magma rheology. When magma is highly viscous, its eruption on the surface results in a lava dome formation, and an occasional collapse of the dome may lead to a pyroclastic flow. In this chapter, we consider two models of lava dynamics: a lava flow model to determine the internal thermal state of the flow from its surface thermal observations, and a lava dome growth model to deter mine magma viscosity from the observed lava dome morphological shape. Both models belong to a set of inverse problems. In the first model, the lava thermal conditions at the surface (at the interface between lava and the air) are known from observations, but its internal thermal state is unknown. A variational (adjoint) assimilation method is used to propagate the temperature and heat flow inferred from surface measurements into the interior of the lava flow. In the second model, the lava dome viscosity is estimated based on a comparison between the observed and simulated morphological shapes of lava dome shapes using computer vision techniques.

Исследуются прямая и обратная задачи для модели стационарной реакции-конвекции-диффузии. Прямая задача состоит в нахождении решения соответствующей краевой задачи при заданных параметрах модели. Указываются условия разрешимости прямой задачи, приводятся априорные оценки на решение, установлена непрерывная зависимость решения прямой задачи от ряда параметров. Обратная задача состоит в нахождении априори не известного коэффициента поглощения в среде, характеризующего поглощение некоторой субстанции (или сток тепла) в химическом процессе. Дополнительной информацией для решения обратной задачи являются результаты измерения концентрации вещества (или температуры) на доступной части границы области, содержащей соответствующую среду (области изменения пространственной переменной). Доказано, что обратная задача некорректна. Приведены примеры, показывающие, что обратная задача неустойчива по отношению к возмущению измеряемой величины и может иметь несколько решений. Для решения обратной задачи предложен вариационный метод, основанный на минимизации некоторого подходящего функционала невязки (целевого функционала). Исследованы экстремальные свойства задачи минимизации функционала невязки. Найдена явная аналитическая формула для вычисления градиента функционала невязки и выписаны соответствующие сопряженная система и система оптимальности. Указано несколько устойчивых итерационных методов минимизации функционала невязки. Приведены результаты численного моделирования решения обратной задачи.

Lava domes and lava flows are major manifestations of effusive volcanic eruptions. Less viscous lava tends to flow long distances depending on the volcanic slope topography, the eruption rate, and the viscosity of the erupted magma. When magma is highly viscous, its eruption to the surface leads to the formation of lava domes and their growth. The meshless smoothed particle hydrodynamics (SPH) method is used in this paper to simulate lava dynamics. We describe the SPH method and present a numerical algorithm to compute lava dynamics models. The numerical method is verified by solving a model of cylindrical dam-break fluid flow, and the modelled results are compared to the analytical solution of the axisymmetric thin-layer viscous current problem. The SPH method is applied to study three models of lava advancement along the volcanic slope, when the lava viscosity is constant, depends on time and on the volume fraction of crystals in the lava. Simulation results show characteristic features of lava flows, such as lava channel and tube formation, and lava domes, such as the formation of a highly viscous carapace versus a less viscous dome core. Finally, the simulation results and their dependence on a particle size in the SPH method are discussed.

Лавовые потоки и лавовые купола являются основными проявлениями эффузивных вулканических извержений. Менее вязкая лава имеет тенденцию течь на большие расстояния в зависимости от рельефа склона, скорости извержения и вязкости извергаемой магмы. Когда магма имеет высокую вязкость, ее извержение на поверхность приводит к образованию лавовых куполов и их росту. Для численного моделирования лавовой динамики в данной работе предлагается использовать бессеточный метод гидродинамики сглаженных частиц. Приводится описание данного метода и численный алгоритм расчетов. Численный метод тестируется на простой модели «прорыва цилиндрической дамбы» с целью сравнения полученного профиля течения жидкости с аналитическим решением математической задачи. Метод применяется для изучения трех моделей течения лавы по вулканическому склону, когда вязкость лавы (1) постоянная, зависит от (2) времени и от (3) роста объемной доли кристаллов в лаве. Результаты моделирования показывают характерные черты лавовых потоков, такие как образование лавового канала и трубки, и лавовых куполов, такие как образование панциря высокой вязкости по сравнению с менее вязким ядром купола. В заключении обсуждаются результаты моделирования и их зависимость от размера частиц в предложенном численном методе.

Описывается реализация критерия адаптации в технологии построения трехмерных структурированных сеток, предназначенной для численного решения дифференциальных уравнений, моделирующих вихревые процессы многокомпонентной гидродинамики. Ранее в технологии построения сеток критерий был реализован в объемах вращения и в объeмах вращения, деформированных другими объeмами вращения. Критерий адаптации реализован в рамках вариационного подхода построения оптимальных сеток, удовлетворяющих критериям оптимальности: близости сетки к равномерной, ортогональной и адаптации под заданную функцию. При реализации критерия технология дополнена новым способом расчета граничных узлов и алгоритмом построения допустимого множества для минимизации функционала, формализующего критерии оптимальности. Приводятся примеры расчетов сеток, адаптирующихся под заданную функцию и ее первые производные.

Lava domes form during effusive eruptions due to an extrusion of highly viscous magmas from volcanic vents. We present here a study of the lava dome growth at Volcan de Colima, Mexico during 2007-2009 using numerical modelling. The mathematical model treats the lava dome extrusion dynamics as a thermo-mechanical problem. The equations of motion, continuity, and heat transfer are solved with the relevant boundary and initial conditions in the assumption that the viscosity depends on the volume fraction of crystals and temperature. Numerical experiments have been performed to analyse the internal structure of the lava dome (i.e., the distributions of the temperature, crystal content, viscosity, and velocity) depending on various heat sources and thermal boundary conditions. It was demonstrated earlier that the lava dome dynamics at Volcan de Colima during short (for a couple of months) dome-building episodes can be modelled by an isothermal lava extrusion with the viscosity depending on the volume fraction of crystals. We show here that cooling plays a significant role during long (up to several years) dome-building episodes. A carapace develops as a response to a convective cooling at the lava dome interface with the air. The carapace becomes thicker if the radiative heat loss at the interface is also considered. The thick carapace influences the lava dome dynamics constraining its lateral advancement. The latent heat of crystallization leads to higher temperatures inside the lava dome and to a relative flattening of the dome. The developed thermo-mechanical model of lava dome dynamics at Volcan de Colima can be used elsewhere to analyze effusive eruptions, dome carapace evolution and its failure potentially leading to pyroclastic flow hazards.

The algorithm is designed for multi-component hydrodynamic simulation and for solving other physical and engineering problems. It is suggested for generating structured grids in the volume of revolution (main body) deformed by another volume of revolution (deforming body). In the deformation process, the deforming body is assumed infinitely stiff and strong (i.e. it does not deform, only the main body deforms). The algorithm is developed within the original variational approach for constructing optimal grids satisfying different requirements. The requirements of closeness of a grid to uniform and orthogonal are considered. The algorithm is performed on the basis of the grid generation technology elaborated earlier within the utilized approach for the volume of revolution. The volume of revolution is obtained by the rotation through 180° around an axis of a plane generatrix curve consisting of segments of straight lines and arcs of circles and ellipses. The technology is fully three-dimensional one and is not reduced to constructing rotational grids obtained by the rotation of two-dimensional grids around the axis. The developed algorithm represents the non-stationary procedure generating three-dimensional structured grids in domains with moving boundaries during which the form of the domain is changing from the volume of revolution to the desired deformed volume. The non-stationary algorithm is an iterative process where, at each stage, the deformation of a grid and then its optimization are carried out. Such algorithm allows to generate grids in very complex geometries. For this there is no need to describe the complex geometry of the deformed domain which is not obvious in the general case. It is necessary to do this only for the volumes of revolutions of the main and deforming bodies by the definition of generatrix curves for them which is essentially easier. It also permits to exclude some other stages of the traditional grid generation for the deformed volume such as generation of an initial grid. The algorithm is realized in the computer code written in C++. Examples of constructed grids are given.