Научные направления
«МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ПОЗИЦИОННОГО УПРАВЛЕНИЯ И ТЕОРИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ИГР»
Развитие математической теории оптимального управления на основе позиционных конструкций, развиваемых в школе Н.Н. Красовского, принципов и методов негладкого и выпуклого анализа.
Задачи и ожидаемые результаты
Работа по указанному научному направлению распределена на несколько тематических блоков, по каждому из которых планируется проведение исследований и получение соответствующих результатов:
Исследование задач об отделимости выпуклых множеств в конечномерных евклидовых пространствах при наличии ограничения на них, обоснование критериев отделимости, а также обобщение понятия накрывающего многозначного отображения, в приложении к развитию конструкций математической теории управления.
Исследования эволюции во времени областей достижимости для управляемых детерминированных систем с использованием множеств Лебега для функций цены во вспомогательных задачах оптимального управления. Особое внимание будет уделено разработке теории обобщенных решений задачи Дирихле для уравнения Гамильтона – Якоби – Беллмана при описании функции цены с помощью обобщенных и классических характеристик этого уравнения.
Исследование и разработка методов решения задач управления на бесконечном промежутке времени с кусочно-гладкой производственной функцией. Для данного класса моделей роста и соответствующих задач на бесконечном промежутке времени в рамках анализа качественных свойств оптимальных стратегий будут предложены конструкции нелинейных регуляторов, стабилизирующих гамильтонову систему принципа максимума Л.С. Понтрягина. Будут изучены вопросы существования нелинейных регуляторов и робастности метода стабилизации гамильтоновых систем.
Изучение нелокальных и инфинитезимальных свойств функционала цены с приложением к разработке методов построения оптимального позиционного управления в различных задачах динамической оптимизации функционально-дифференциальных систем и дифференциальных систем дробного порядка.
«КОМБИНАТОРНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ, ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ И АНАЛИЗ ДАННЫХ»
Основная область исследований связана с решением фундаментальной проблемы алгоритмического анализа труднорешаемых задач комбинаторной оптимизации и несобственных (некорректно поставленных, сингулярных) задач выпуклого программирования, возникающих в том числе на этапе построения математических моделей для практических постановок в области исследования операций, анализа больших данных и обучения многослойных (deep) нейронных сетей.
Задачи и ожидаемые результаты
В классе дискретных экстремальных задач связаны с: (а) обоснованием статуса вычислительной и параметрической сложности неисследованных ранее постановок; (б) проектированием, обоснованием и программной реализацией полиномиальных алгоритмов с гарантированными оценками точности и трудоемкости и аппроксимационных схем; (в) обоснованием теоретических оценок эффективной аппроксимируемости труднорешаемых задач.
В классе задач линейной / выпуклой оптимизации планируется: (а) развитие оригинального подхода к построению схем Тихоновской регуляризации и оптимальной коррекции по Чебышеву – Еремину несобственных (сингулярных) задач; (б) вывод условий с обоснованием оценок скорости сходимости проектируемых итерационных методов.
В классе задач анализа больших данных ожидаемые результаты связаны с развитием и численным анализом современных архитектур многослойных (deep) нейронных сетей и решением конкретных прикладных задач.
В частности, планируется получить результаты по следующим прикладным направлениям исследований:
Аппроксимируемость геометрических постановок задачи об оптимальной маршрутизации транспортных средств (vehicle routing problem) в классе полиномиальных приближенных схем при дополнительных ограничениях на грузоподъемность, неоднородность спроса и временные промежутки обслуживания.
Новые приближенные алгоритмы для геометрических постановок задач о минимальной системе представителей (hitting set problem) и оптимальном покрытии (Set Cover Problem) с рекордными факторами аппроксимации и низкой трудоемкостью.
Численный анализ применимости современных архитектур многослойных, в том числе, вполне конволюционных нейронных сетей для решения задач оценки распределений однотипных объектов на изображениях, в том числе, для восстановления распределения видов насекомых-вредителей на основе изображений, получаемых с камер-ловушек.
«ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ И ПРИЛОЖЕНИЯ»
Основная область исследований
Задачи оптимального восстановления и наилучшего приближения неограниченных операторов ограниченными и родственные задачи, задачи навигации по геофизическим полям.
Задачи и ожидаемые результаты
Исследуются задачи оптимального восстановления и наилучшего приближения неограниченных операторов ограниченными на классах гладких и аналитических функций одной и нескольких вещественных и комплексных переменных. Будут изучаться неравенства между нормами производных функций с ограничением на старшую производную, в частности, неравенство Колмогорова для первой и второй производной на числовой оси с односторонней нормой второй производной. С использованием методов теории функций будут изучаться задачи навигации автономно движущихся объектов по геофизическим полям в условиях наблюдения и опасных воздействий окружающей среды.
