Рассмотрены основные выражения, позволяющие определять значение удельной электропроводности в полупроводниковых пластинах и пленках прямоугольной и круглой формы при двухзондовом методе измерений на постоянном токе. На основе асимптотического анализа получены приближенные удобные для расчетов формулы для разности потенциалов между измерительными зондами. Показано, что в большинстве практически используемых случаев предлагаемые асимптотические формулы можно использовать без увеличения измерительной погрешности в случаях контроля однородности распределения электрофизических параметров исследуемых образцов.

Рассматривается задача оптимального управления значением решения уравнения эллиптического типа в ограниченной области с гладкой границей посредством потока через границу области. Оператор уравнения есть сумма оператора Лапласа с малым коэффициентом и оператора нулевого порядка. Управление стеснено интегральным соотношением. Функционал качества есть сумма квадратов норм отклонения состояния от заданного состояния на границе области и управления. Получено полное асимптотическое разложение по степеням малого параметра решения задачи.

Статья посвящена развитию методов Ляпунова для анализа устойчивости положения равновесия динамической системы в пространстве вероятностных мер, задаваемой нелокальным уравнением неразрывности. Получены достаточные условия устойчивости, опирающиеся как на анализ поведения негладкой функции Ляпунова в окрестности положения равновесия, так и на исследование квадратичной формы, заданной на касательном пространстве к пространству вероятностных мер. Общие результаты проиллюстрированы исследованием устойчивости положения равновесия для градиентного потока в пространстве вероятностных мер и меры Гиббса для системы связанных математических маятников.

The paper is devoted to developing Lyapunov's methods for analyzing the stability of an equilibrium of a dynamical system in the space of probability measures that is defined by a nonlocal continuity equation. Sufficient stability conditions are obtained based on the basis of an analysis of the behaviour of a nonsmooth Lyapunov function in a neighbourhood of the equilibrium and the investigation of a certain quadratic form defined on the tangent space of the space of probability measures. The general results are illustrated by the study of the stability of an equilibrium for a gradient flow in the space of probability measures and the Gibbs measure for a system of connected simple pendulums.

We present a survey of some results in the existence theory for nonlinear partial differential equations with L1-data. We mainly describe the results on the existence and nonexistence of weak solutions of the Dirichlet problem for nonlinear elliptic equations with right-hand side in the Lebesgue spaces Lm, where m is greater or equal 1. In so doing, we also expose our recent results on the subject.

Global warming processes have a particularly strong impact on northern regions with permafrost. In these areas, the rate of warming exceeds the global average, leading to permafrost degradation. One consequence of this process is the reduced bearing capacity of soils surrounding the pile foundations of critical infrastructure, including residential buildings with pile foundations and ventilated underground. To monitor changes in soil bearing capacity, automatic thermometric stations are installed in the ventilated undergrounds of residential buildings. Additionally, specialized software applications are developed for long-term forecasting of pile bearing capacity trends using temperature monitoring data. Typically, such software requires significant computational resources, often taking tens of hours to run on high-performance supercomputers. To address this challenge, we developed a neural network that efficiently predicts soil temperatures based on ventilated underground temperatures. The model is designed to run on conventional computers, making it accessible to researchers without advanced computational mathematics expertise. This paper describes the network’s architecture and presents prediction results that align well with monitoring data.

The climate keeps the warming trend, and it occurs the warming conditions provide the faster rate for the cryolitozone than the other regions. It affects on the permafrost soils and generates additional problems for the sustainability of infrastructure in these areas. One of the basic climatic factors which makes destruction for permafrost is the sun heating. In this paper an investigation of on the contribution of insolation to the reduction of the bearing capacity of the support piles of a railway bridge located in the permafrost zone. The mathematical model considers global warming with the rate of 0.04°C per year. The calculations were carried out for 40 years starting from the construction of the bridge in 1983 and showed that the bearing capacity of the soil could be increased by 18% by 2023 if protection from solar radiation is used for a specific railway bridge support.

For variational inequalities with nonlinear elliptic operators depending on a parameter and a constraint set defined by bilateral obstacles, we consider some different cases where the lower and upper obstacles satisfy certain conditions (the obstacles can contact or not contact). For every of these cases, we formulate a theorem on the weak convergence of solutions of initial variational inequalities to the solution of a limit variational inequality. In so doing, we show what are the generality and specificity of the results corresponding to the considered cases.

управление

Исследуется задача о построении оптимального маршрута в трёхмерном пространстве до целевого множества, которое представляет собой объект нетривиальной геометрии. Разработаны алгоритмы построения слоёв с заданными значениями функции затрат на перемещение динамического тела (аппарата) до целевого множества. При этом предполагается, что динамическое тело перемещается на значительные расстояния и его размерами допустимо пренебречь, что позволяет моделировать это тело в виде материальной точки. Описано сингулярное множество – биссектриса, на которой функция затрат теряет гладкость. Биссектриса состоит из особых точек – из каждой точки биссектрисы исходит не одна, а несколько оптимальных траекторий. Получены необходимые и достаточные условия того, что некоторый отрезок является оптимальной траекторией. Выведены формулы крайних точек сингулярного множества в терминах кривизны поверхности целевого множества. Приведен пример построения поверхностей уровня функции затрат на основе выделения биссектрисы.

The objective of this paper is to study the problem of constructing an optimal route in three-dimensional space to a target set, which is an object of nontrivial geometry. The authors developed algorithms for constructing layers with specified values of the cost function for moving the dynamic body (apparatus) to a target set. It is hypothesized that the dynamic body moves for significant distances and that its dimensions are negligible; this allows for the modeling of the body as a material point. This paper sets forth a distinctive configuration: that of a bisector on which the cost function becomes singular, losing smoothness. The bisector is constituted by specific points, from which multiple optimal trajectories emerge for each point on the bisector. The necessary and sufficient conditions for the identification of an optimal trajectory for some segment are obtained. The formulas for the extreme points of a singular set in terms of the curvature of the surface of the target set were derived. The paper provides an example of constructing cost function level surfaces based on bisector extraction.

Рассмотрена математическая модель, описывающая динамику изменения температурных полей в грунте, окружающего аварийную опору железнодорожного моста в криолитозоне. Это опора состоит из 12 бетонных свай большого диаметра, объединенных бетонным ростверком, и испытывает существенную просадку. Несущая способность свайного основания опоры определяется температурным режимом грунта, который зависит от многих факторов, включая потепление климата, учет солнечной радиации, литологию грунта, его теплофизические характеристики и особенности климатических факторов, характерных для конкретного географического места. Для описания нестационарных температурных полей используется конечно-разностный метод расчета. Новизна предложенного алгоритма заключается в учете данных температурного мониторинга как современных, так и полученных более 40 лет назад. Проанализированы характерные распределения температур в грунте с учетом расположения опоры относительно сторон света и её инсоляции.

The paper presents a mathematical model for simulating the dynamics of temperature field changes in the soil surrounding the emergency support structure of a railway bridge located in the permafrost zone. The support structure, consisting of 12 large-diameter concrete piles connected by a concrete grillage, experienced significant subsidence of 15 mm over a 6-month observation period. The bearing capacity of the pile foundation is highly dependent on the soil temperature regime, which is influenced by multiple factors such as global warming, solar radiation with account taken of the North-South orientation of the support structure, soil lithology, temperature-dependent thermophysical properties, and local climatic conditions. To model the non-stationary temperature fields, a finite-difference method was employed. The proposed approach introduces two key innovations: the first is the integration of temperature-monitoring data into a numerical method to determine climate-warming trends specific to the geographic location, and the second is the consideration of the historical soil temperature regime around the pile foundation since the bridge construction and commissioning in the Yamalo-Nenetz Autonomous District. The method is validated through numerical simulations, which analyze seasonal temperature field variations at different depths. The results provide insights into characteristic temperature distributions in the soil, taking into account the support orientation.

Two Cauchy problems for Hamilton-Jacobi equation of the evolutionary type with state constraints are considered on a bounded time interval. The state space is one-dimensional. Hamiltonians of the considered problems depend on the state and momentum variables, and the dependence on the momentum variable is exponential. In the first problem, the Hamiltonian is convex in the momentum variable, and in the second problem, the Hamiltonian is concave in this variable. For the first problem, it is proved that a unique continuous viscosity solution exists, and a scheme is proposed for constructing this solution. The proposed scheme is based on the method of generalized characteristics. For the second problem, it is shown that a continuous viscosity solution does not exist, and to define a generalized solution it is necessary to specify some additional conditions.

В работе рассматриваются множества достижимости в заданный момент времени линейных управляемых систем с интегральными ограничениями на управление в виде шара в пространстве $L_p$ при $p>1$. Множества достижимости являются выпуклыми компактами в конечномерном евклидовом пространстве $\mathbb R^n$. Для $p=2$, как известно, множество достижимости при выполнении условий управляемости является эллипсоидом в $\mathbb R^n$, граница которого компактное гладкое многообразие, диффеоморфное сфере. В работе получены достаточные условия, при выполнении которых граница множества достижимости оказывается гладким многообразием размерности $n-1$ для всех $1

The paper considers reachable sets at a given time of linear control systems with integral constraints on control in the form of a ball in the space $L_p$ for $p>1$. The reachable sets are convex compact sets in the finite-dimensional Euclidean space $\mathbb R^n$. For $p=2$, it is known that the reachable set, under the controllability condition, is an ellipsoid in $\mathbb R^n$ whose boundary is a compact smooth manifold diffeomorphic to a sphere. In this paper we obtain sufficient conditions under which the boundary of the attainability set turns out to be a smooth manifold of dimension $n-1$ for all $1

Получены условия существования квадратичных функционалов Ляпунова-Красовского с конечномерными операторами для линейных автономных систем дифференциальных уравнений с запаздыванием.

Рассматриваются абстрактные задачи о достижимости с ограничениями асимптотического характе-ра (ОАХ), в которых результат (аналог множества достижимости) определяется в виде множествапритяжения (МП) в топологическом пространстве. Сами ОАХ порождаются при этом непустымисемействами подмножеств исходного множества обычных (доступных для реализации) решений.Среди этих семейств выделяются фильтры: семейство всех возможных МП получается добавле-нием пустого множества к аналогичному семейству МП, отвечающим каждое ОАХ, порождаемымфильтром; при этом ультрафильтрам всякий раз сопоставляется единственный элемент притяжения.Это позволяет установить ряд важных свойств семейства всех МП, порождаемых фильтрами. Так,в частности, установлено, что данное семейство замкнуто относительно конечных объединений, ука-заны условия, при которых конечное объединение фильтров порождает МП упомянутого семейства,указано семейство синглетонов, являющихся МП, порождаемыми фильтрами. Само же появлениенепустых неодноэлементных МП удается истолковать в терминах немаксимальности фильтра, по-рождающего ОАХ: непустые МП, не являющиеся синглетонами, непременно соответствуют ОАХ,порождаемыми фильтрами, не являющимися ультрафильтрами

Рассматриваются абстрактные задачи о достижимости в топологическом пространстве (ТП) при наличии ограничений асимптотического характера (ОАХ); данные ОАХ могут возникать, в частности, при последовательном ослаблении тех или иных стандартных ограничений. Упомянутые ОАХ порождаются непустым семейством множеств в исходном пространстве обычных решений (управлений). Результатом действия ОАХ можно в упомянутых случаях считать множество притяжения, являющееся предельным по отношению к “обычным” достижимым множествам (ДМ); данные ДМ в задачах управления могут соответствовать областям достижимости при тех или иных конкретных ограничениях на выбор управлений.

The abstract reachability problems in topological space with constraints of asymptotic nature (CAN) are considered; given CAN can arise (in particular) through the consistent weakening of one or more standard constraints. The above-mentioned CAN are generated by a nonempty family of sets in the initial space of usual solutions (controls). As a result of the action of CAN, we can (in the above-mentioned cases) consider attraction set being the limit with respect to “usual” reachable sets (RS); in control problems, a given RS may correspond to reachability domains under one or more concrete constraints on the control choice.

Рассматривается задача уклонения в условиях неопределенности для многошаговых систем с исходно линейной структурой и фазовыми ограничениями, где действуют управления u, U и v, причем u и v входят аддитивно, а U — в матрицу системы. В рассматриваемой задаче синтеза управлений, которую называем задачей усиленного уклонения, цель v — либо избежать попадания траектории на заданное терминальное множество в заданный конечный момент времени и на последовательность множеств, заданных в предыдущие моменты, либо нарушить хотя бы одно из фазовых ограничений, каковы бы ни были допустимые реализации u и U. Наличие U привносит в системы нелинейность и приводит к системам билинейного типа. Предполагается, что терминальное и промежуточные множества являются параллелепипедами, управления u и v стеснены параллелотопозначными ограничениями, U — интервальными, а фазовые ограничения заданы в виде полос. Разработан полиэдральный метод синтеза управлений v с использованием полиэдральных (параллелепипедозначных) трубок, которые могут быть найдены из рекуррентных соотношений по явным формулам. Для получения решения рассматриваемой задачи найдено решение вспомогательной одношаговой полиэдральной задачи уклонения с билинейностью. Отмечены ее связи с проблематикой из интервального анализа, касающейся так называемых множеств кванторных решений интервальных уравнений. Приведены примеры, иллюстрирующие работоспособность метода.

The evasion problem under uncertainty is considered for discrete-time systems with an initially linear structure and state constraints, where controls u, U, and v act; u and v enter additively, and U enters into the system matrix. In the considered control synthesis problem, which we call the enhanced evasion problem, the aim of v is either to avoid the trajectory to hit a given terminal set at a given final moment, as well as a sequence of sets specified at previous moments, or to violate at least one of the state constraints, whatever the admissible realizations of u and U. The presence of U introduces nonlinearity into the systems and leads to bilinear type systems. It is assumed that the terminal and intermediate sets are parallelepipeds, the controls u and v are constrained by parallelotope-valued constraints, U by interval constraints, and the state constraints are specified in the form of zones. A polyhedral method for synthesizing controls v is developed using polyhedral (parallelepiped-valued) tubes, which can be found from recurrence relations using explicit formulas. To obtain a solution to the problem under consideration, a solution to an auxiliary one-step polyhedral evasion problem with bilinearity is found. Its connections with the problems of interval analysis concerning the so-called sets of quantifier solutions to interval equations are noted. Examples illustrating the efficiency of the method are given

In a previous paper, the authors determined the parameters of all strongly regular graphs that can be decomposed into a divisible design graph and a Hoffman coclique. As a counterpart of this result, in the present paper we determine the parameters of all strongly regular graphs that can be decomposed into a divisible design graph and a Delsarte clique. In particular, an infinite family of strongly regular graphs with the required decomposition and a new infinite family of divisible design graphs are found.

В предыдущей статье авторы определили параметры всех сильно регулярных графов, которые можно разложить на делимый схемный граф и коклику Хоффмана. В качестве аналога этого результата в настоящей статье мы определяем параметры всех сильно регулярных графов, которые можно разложить на делимый схемный граф и клику Дельсарта. В частности, найдено бесконечное семейство сильно регулярных графов с требуемым разложением и новое бесконечное семейство делимых схемных графов.

Изучены свойства субдифференцируемого минимаксного решения задачи Дирихле для уравнения гамильтонова типа в двумерном евклидовом пространстве. Исследована проблема существования области примыкания к краевому множеству, в которой решение является гладким. Показано, как граничные точки краевого множества, имеющие дефекты гладкости, влияют на структуру сингулярного множества минимаксного решения. Рассматривается задача Дирихле для уравнения Беллмана--Айзекса: $$ \min \limits_{\nu \colon\left\| \nu \right\|\leqslant 1} \left( {\nu_1 \frac{\displaystyle\partial u} {\displaystyle\partial x}+\nu _2 \frac{\displaystyle\partial u} {\displaystyle\partial y}}\right)+1=0, u |_\Gamma=0. \eqno(1) $$ Здесь $ \|\nu\|=\sqrt{\nu_1^2 + \nu_2^2}$ --- норма вектора $\nu=(\nu_1, \nu_2)$. Краевое условие в (1) определено на границе $\Gamma=\partial M$ замкнутого множества $M\subset \mathbb{R}^2$. Минимаксное решение \cite{Uspensky1} задачи (1) известно \cite{Uspensky2}: $u({ x})=\inf\limits_{{ m}\in M}\|{ x}-{ m}\|$. Доказана теорема, которая позволяет при построении решения задачи (1) найти чебышевский слой краевого множества величины $ r_0 >0,$ определяющей окрестность этого множества, в которой решение является гладким (формулы (3), (4) и (5)), а также указать случай отсутствия чебышевского слоя, когда в любой окрестности краевого множества решение не является гладким (формула (2)).

The paper focuses on the Fr´echet subdifferential of the pointwise supremum of the family of functions taken over arbitrary index sets. The all functions in the corresponding family are defined on a Fr´echet smooth space; this class of Banach spaces includes all reflexive spaces and all separable Asplund spaces. The new upper estimates, including non-convex ones, establish for the Fr´echet subdifferentials of the suprema of continuous functions and lower semicontinuous functions. In these estimates, an additional requirement is imposed on every ε-active index that corresponds continuous function: the ε-closeness of the considered point of the graph of the supremum to the graph of this continuous function. The key two-sided inequalities with respect to the graph of continuous function, corresponding to ε-active index, are based on the two-sided unidirectional mean value inequality. The method of proving upper estimates combines the approaches of works of J. S. Treiman, Y. S. Ledyaev, B. S. Mordukhovich, T. Nghia, and P. P´erez–Aros

Исследуется субдифференциал Фреше поточечного супремума семейства функций, индексируемых произвольным множеством. Все рассматриваемые при этом функции заданы на гладком по Фреше пространстве; этот класс банаховых пространств включает в себя как рефлексивные пространства, так и сепарабельные пространства Асплунда. Новые оценки сверху, в том числе невыпуклые, установлены для субдифференциала по Фреше супремума непрерывных и полунепрерывных снизу функций. В этих оценках к каждому ε-активному индексу, соответствующему непрерывной функции, предъявляется дополнительное требование: ε-близость графика этой непрерывной функции к рассматриваемой точке графика супремума. Ключевые двусторонние неравенства для точки графика непрерывной функции, соответствующей ε-активному индексу, основаны на двустороннем однонаправленном варианте теоремы Лагранжа. Метод доказательства верхних оценок сочетает в себе подходы из работ Дж. С. Треймана, Ю. С. Ледяева, М. Ш. Мордуховича, Т. Нгиа и П. Перез-Ароса.

We study necessary optimality conditions for the deterministic mean field type free-endpoint optimal control problem. Our study relies on the Lagrangian approach that treats the mean field type control system as a crowd of infinitely many agents who are labeled by elements of some probability space. First, we derive the Pontryagin maximum principle in the Lagrangian form. Furthermore, we consider the Kantorovich and Eulerian formalizations which describe mean field type control systems via distributions on the set of trajectories and nonlocal continuity equation respectively. We prove that local minimizers in the Kantorovich or Eulerian formulations determine local minimizers within the Lagrangian approach. Using this, we deduce the Pontryagin maximum principle in the Kantorovich and Eulerian forms. To illustrate the general theory, we examine a model system of mean field type linear quadratic regulator. We show that the optimal strategy in this case is determined by a linear feedback.

Исследуется асимптотическое поведение решения задачи Коши для неоднородного уравнения теплопроводности с правой частью, имеющей автомодельную асимптотику на бесконечности. С использованием метода вспомогательного параметра и регуляризации особенностей подынтегральных выражений найдено асимптотическое приближение решения в виде ряда Эрдейи по полуцелым степеням переменной времени с коэффициентами, зависящими от автомодельной переменной и логарифма времени.

Evaluation of antigenic similarity between various strains of a single pathogenic virus is a crucial aspect of vaccine production. The conventional approaches employed to quantify the degree of similarity are based on the wet lab experiments, which are labor- and time-intensive. Therefore, in the last decade, various computer-aided and mathematical models have been developed to assist in acquiring earlier knowledge on the antigenic characteristics of currently circulating viruses. In this paper, optimized machine learning classifiers are applied to construct ensemble models for predicting antigenic variants of foot-and-mouth disease (FMD) virus. We provide a comprehensive assessment for embedding techniques of genetic sequences according to the type of sequences, DNA and protein, as well as by alternating the type of amino acid alphabet. Models that are trained using reduced amino acid alphabets supply the generation of new feature sets, which lead to reduce model complexity and increase ensemble diversity. The suggested stacking ensembles are constructed based on two diversity measures, double fault and Q-statistic. We conduct the evaluation of models on a relatively large test dataset. To the best of our knowledge, the proposed ensemble achieves a superior accuracy of 0.917. The results indicate that our model has potential as an exploratory tool for modeling the antigenicity of the FMD virus.

Рассматриваются задачи маршрутизации перемещений с ограничениями предшествования и функциями стоимости с зависимостью от списка заданий. Исследуются варианты аддитивного агрегирования затрат и минимаксной постановки (задача на узкие места). Предполагается, что вся совокупность заданий, связанных с посещением мегаполисов (непустых конечных множеств), разбита в сумму двух кластеров, в результате чего возникают две частные задачи: предваряющая и финальная. Выполнение заданий финальной задачи может быть начато только после завершения всех заданий предваряющей. Целью исследования является оптимизация композиционных решений в случаях аддитивной и минимаксной постановок. Предлагается единый подход, связанный с раздельным решением предваряющей и финальной задач с использованием широко понимаемого динамического программирования. Построен оптимальный алгоритм для композиционного решения задач ощутимой размерности с приемлемым для практики быстродействием. Возможные применения могут быть связаны с задачей о демонтаже радиационно опасных объектов, задачей управления инструментом при фигурной листовой резке на машинах с ЧПУ, а также с некоторыми транспортными задачами, касающимися логистических проблем в малой авиации.

Problems of movement routing with precedence constraints and cost functions depending on the list of tasks are considered. Variants of additive cost aggregation and minimax statement (bottleneck problem) are studied. It is assumed that the entire set of tasks related to visiting megalopolises (nonempty finite sets) is divided into the sum of two clusters; as a result, two particular problems arise: preliminary and final. The execution of tasks of the final problem can be started only after the completion of all tasks of the preliminary one. The aim of the study is to optimize compositional solutions in the cases of additive and minimax statements. A unified approach is proposed related to the separate solution of the preliminary and final problems using broadly understood dynamic programming. An optimal algorithm for the compositional solution of problems of significant dimension with practically acceptable performance is constructed. Possible applications may include the problem of dismantling radiation-hazardous objects, tool control during shaped sheet cutting on CNC machines, and some transport problems related to logistical problems in small aviation.

Dangerous cardiac arrhythmias occur often due to ischemic heart disease. One of the most important methods for removing an arrhythmia is low-voltage electrotherapy, in particular overdrive pacing, that is stimulation from an implanted cardioverter with a period slightly less than the arrhythmia period. The main aim of this paper is to study how ischemia can affect overdrive pacing of arrhythmias caused by rotating spiral waves. We performed simulations using the ten Tusscher–Panfilov 2006 model for human cardiac tissue and studied how specific components of ischemia, such as hyperkalemia, hypoxia and acidosis, affect the dynamics of spiral waves and overdrive pacing. The hyperkalemia increased the spiral wave period more than twofold and caused meandering. Hypoxia slightly decreased the period. Acidosis caused meandering and spontaneous drift, which can result in the disappearance of spiral waves. Overall, the ischemia increased the efficiency of overdrive pacing, an effect that was mainly due to hyperkalemia.

Статья посвящена светлой памяти выдающего российского ученого-тополога Евгения Георгиевича Пыткеева (1947–2022), блестящего специалиста в области функционального анализа и теории множеств. Евгений Георгиевич был ярким представителем Уральской топологической школы, основанной профессором Николаем Васильевичем Величко в 70-е годы прошлого века. Закончив обучение в 1972 г. на математико-механическом факультете Уральского государственного университета им. А. М. Горького, Е. Г. Пыткеев стал одним из первых учеников Н.В. Величко и внес значительный вклад в развитие теоретико-множественной топологии и теорию функций. В данной работе приводятся краткие факты из научной биографии Е. Г. Пыткеева, обсуждаются результаты его научных исследований, его научные идеи и методы, а также их перспективы в современной науке. Отдельно отмечена педагогическая и издательская деятельность Евгения Георгиевича и его заметный вклад в становление школьного олимпиадного движения на Урале.

In this note, two new very simple and computationally con- venient external penalty functions are proposed for approximate solving of the linear programming problem with constraints-inequalities. The author calls these constructions as composite ones. Both functions are a result of a smooth “gluing” of well-know quadratic penalty function with some barrier functions, namely inverse and logarithmic ones. As a result, the composite functions combine the positive properties both of their components. Similar to quadratic penalty function, the new con- structions are defined overall space and demonstrate a stable work both inside and outside the feasible set of the original problem. At the same time, similar to barrier functions, the composite functions make it pos- sible to apply second-order methods for their minimization. The conver- gence theorems are proved, and encouraging results of numerical exper- iments are presented.

A subset A of a topological space X is called relatively functionally countable (RFC) in X, if for each continuous real-valued function f on X the set f[A] is countable. We prove that all RFC subsets of a countable product of spaces X_n are countable, assuming that the spaces X_n are Tychonoff and all RFC subsets of every X_n are countable. In particular, in a metrizable space every RFC subset is countable. The main tool in the proof is the following result: for every Tychonoff space X and any its countable subset Q there is a continuous function f from X^\omega into the plane R^2 such that the restriction of f to Q^\omega is injective.

Подмножество A топологического пространства X называется относительно функционально счетным (relatively functionally countable, RFC) в X, если при всякой непрерывной вещественной функции на X образ множества A счетен. Мы доказываем, что если в тихоновских пространствах X_n все RFC подмножества счетные, то и в счетном произведении X_n по натуральным n все RFC подмножества счетные. В частности, в метризуемых пространствах все RFC подмножества счетные. Основной инструмент в доказательстве - следующий результат: для всякого тихоновского пространства X и любого его счетного подмножества Q существует непрерывная функция f из X^\omega в плоскость R^2 такая, что сужение f на Q^\omega инъективно.

A topological space X is Baire if the Baire Category Theorem holds for X, i.e., the intersection of any sequence of open dense subsets of X is dense in X. One of the interesting problems for the space B1(X) of all Baire-one real-valued functions is the Banakh–Gabriyelyan problem of characterization of a topological space X for which the function space B1(X) is Baire. In this paper, we solve this problem, namely, we obtain a characterizationwhen B1(X) is Baire for a topological space X.Alsowe prove that B1(X) is Baire for any γ -space X and obtain a characterization of a topological space X for which B1(X) is a Choquet space. This answers questions posed recently by Taras Banakh and Saak Gabriyelyan. We also conclude that it is consistent with ZFC that there is no uncountable separable metrizable space X such that B1(X) is countable dense homogeneous.