A nonlinear approach-evasion differential game (DG) on a finite time interval is considered for a control system satisfying the conditions of uniqueness and uniform boundedness of generalized trajectories. A variant of a control scheme with a guide (model) is presented, defined based on a multivalued non-anticipatory strategy implemented in control-measure spaces. This scheme is used to prove an alternative theorem in the case of phase constraints with closed time sections, but not closed, generally speaking, in the coordinate-wise convergence topology. A theorem on the alternative solvability of DG in classes of control procedures that do not use the values of the adversary’s controls is provided.

Теорема об альтернативе Н.Н.Красовского и А.И.Субботина --- основополагающий факт теории дифференциальных игр; на ее основе было установлено существование седловой точки в согласованных классах позиционных стратегий для типичных функционалов качества; при этом Н.Н.Красовским был поставлен вопрос о существенности в этой теореме условия Липшица по фазовой переменной. Исчерпывающий ответ был дан А.В.Кряжимским, который показал, что для альтернативной разрешимости в упомянутой игре достаточно лишь т.н. условия обобщенной единственности. Настоящий доклад продолжает исследования в данном направлении.

В статье исследуется нелинейная дифференциальная игра сближения-уклонения на конечном промежутке времени. В пространстве позиций предполагаются заданными целевое множество и множество, формирующее фазовые ограничения, посредством своих временных сечений. Предполагается, что целевое множество замкнуто в пространстве позиций с топологией покоординатной сходимости, а множество, формирующее фазовые ограничения, имеет замкнутые временные сечения. Относительно управляемой системы предполагаются выполненными условия непрерывности правой части дифференциального уравнения, единственности и равномерной ограниченности траекторий, порожденных обобщенными управлениями (управлениями-мерами), предполагаются выполненными. При упомянутых условиях установлена теорема об альтернативной разрешимости дифференциальной игры в классах позиционных процедур управления: схемы управления с поводырем игрока, заинтересованного в сближении с целевым множеством, и стратегии-тройки игрока-уклониста, включающие неупреждающие правила управления моментами коррекции. Для множеств успешной разрешимости игроков, определяющих альтернативное разбиение пространства позиций, указаны представления в терминах конструкций метода программных итераций. Направление исследований восходит к фундаментальной теореме об альтернативе Н.\,Н.\,Красовского и А.\,И.\,Субботина и к ее последующему распространению на класс систем с правой частью нелипшицевой в смысле зависимости от фазового состояния, установленному А.\,В.\,Кряжимским; в упомянутых исследованиях предполагалось, что и целевое множество, и множество, формирующее фазовые ограничения, замкнуты в топологии покоординатной сходимости пространства позиций.

We consider constructions related to the alternative solvability of a nonlinear differential game (meaning the Krasovskii–Subbotin alternative) under the conditions of generalized uniqueness and uniform boundedness of the generalized trajectories used by A. V. Kryazhimskiy. The constructions use procedures based on the method of program iterations. Bibliography: 10 titles. Illustrations: 1 figure.

Исследуются вопросы, связанные с оптимизацией резки при условиях предшествования и ограничениях, связанных с эффективным отводом тепла. Возникающая при этом задача маршрутизации погружается в общую постановку задачи последовательного обхода мегаполисов с условиями предшествования и функциями стоимости с возможной зависимостью от списка заданий. Для решения применяется аппарат широко понимаемого динамического програмирования (ДП) и, в случае задачи ощутимой размерности, метод декомпозиции; в последнем случае нашей целью являются оптимальные композиционные решения, допускающие построение за приемлемое для практики время. Применяемый вариант ДП использует условия предшествования и функции стоимости с зависимостью от списка заданий (данная зависимость возникает в связи с учетом ограничений теплового характера и особенно существенна в случае термической резки). Построенный на основе ДП алгоритм реализован на многоядерной ПЭВМ. Приведены результаты решения модельных примеров. Статья включает обзор предыдущих работ авторов.

Серьезной проблемой российской Арктики, которую можно решить за счет использования беспилотных летательных аппаратов, в условиях отсутствия круглогодично действующего автомобильного сообщения остается доставка грузов и патрулирование лесов с целью выявления и контроля развития пожарных явлений. Статья посвящена разработке методов построения оптимального маршрута облета лесных массивов на основе решения обобщенной задачи коммивояжера с условиями предшествования.

We consider issues related to the alternative solvability of a nonlinear differential game (in the sense of Krasovskii-Subbotin) under the conditions of generalized uniqueness and uniform boundedness of the generalized trajectories provided by A. V. Kryazhimskii. The constructions use procedures based on the method of program iterations. Bibliography: 19 titles.

This article examines the study of asymptotic stability for non-local continuity equation. Here the state space is the space of probability measures. The main result of the paper is as follows: if equilibrium of non-local continuity equation is asymptotically stable, then it has the form of convex combination of the Dirac measures.

Исследуются вопросы, связанные с точным и приближённым соблюдением ограничений в задачах о достижимости. Рассматриваются конструкции на основе множеств притяжения; последние играют роль аналогов областей достижимости в условиях реализации ограничений "на грани фола". Для построения этих множеств привлекаются расширения исходного пространства управлений, реализуемые в надлежащем классе мер, конечно-аддитивных или счётно-аддитивных в зависимости от особенностей задачи. Тем самым реализуется погружение множества обычных (доступных для непосредственной реализации) управлений в компакт. Элементы последнего--- обобщённые управления--- используются в задаче о достижимости с точным соблюдением ограничений, а получающаяся в результате область достижимости (в классе обобщённых управлений=мер) реализует искомое множество притяжения. В связи с вопросом о построении корректных расширений излагаются основные понятия общей топологии и элементы теории меры, включая общие свойства конечно-аддитивных мер и интегралов по таким мерам.

Статья посвящена развитию методов Ляпунова для анализа неустойчивости положения равновесия динамической системы в пространстве вероятностных мер, задаваемой нелокальным уравнением неразрывности. Рассматривается случай лишь барицентрически субдифференцируемой функции Ляпунова. Получены достаточные условия неустойчивости, которые являются аналогом теоремы Четаева и опираются на анализ поведения негладкой функции Ляпунова в окрестности положения равновесия. Приведен пример динамической системы, неустойчивость положения равновесия которой доказывается с использованием полученной теоремы.

Рассматриваются абстрактные задачи о достижимости в топологическом пространстве (ТП) с ограничениями асимптотического характера (ОАХ), реализуемыми посредством непустого семейства множеств в пространстве обычных решений (управлений). В качестве аналога множества достижимости, определяемого образом целевого оператора (ЦО) со значениями в ТП, рассматривается множество притяжения (МП) в классе фильтров или направленностей обычных решений. Исследуются вопросы, связанные с зависимостью МП при изменении семейства множеств в пространстве обычных решений, порождающего ОАХ. Особое внимание уделяется случаю, когда данное семейство является фильтром (всякое МП или может быть порождено ОАХ на основе фильтра, или пусто). В то же время МП при ОАХ, порождаемых ультрафильтром (у/ф), т.е. максимальным фильтром, при неограничительных условиях на ТП и ЦО является синглетоном, что позволяет ввести оператор притяжения (ОП), который в случае регулярного ТП оказывается непрерывным при оснащении множества всех у/ф на множестве обычных решений топологией Стоуна. На этой основе удается дать практически исчерпывающее представление конструкций, связанных с построением МП в регулярном ТП, в классе у/ф при их естественной факторизации на основе ЦО. Целый ряд полученных свойств распространяется на случай ЦО со значениями в хаусдорфовом ТП. Исследуются некоторые вопросы, связанные с ослаблением топологии пространства, в котором реализуется МП.

В монографии с позиций системного и деятельностного подходов изложены теоретические основы военной кибернетики, описаны математические модели военных и боевых (общевойсковых, морских и воздушных) действий, а также специальных действий и охраны государственной границы. Монография предназначена для специалистов в области обороноспособности, обеспечения национальной, государственной и пограничной безопасности, профессорско-преподавательского состава, научных работников, адъюнктов и аспирантов, слушателей и курсантов военных и пограничных вузов России, стран СНГ и других государств.

We study a nonlocal balance equation that describes the evolution of a system consisting of infinitely many identical particles those move along a deterministic dynamics and can also either disappear or give a spring. In this case, the solution of the balance equation is considered in the space of nonnegative measures. We prove the superposition principle for the examined nonlocal balance equation. Furthermore, we interpret the source/sink term as a probability rate of jumps from/to a remote point. Using this idea and replacing the deterministic dynamics of each particle by a nonlinear Markov chain, we approximate the solution of the balance equation by a solution of a system of ODEs and evaluate the corresponding approximation rate. This result can be used for construction of numerical solutions of the nonlocal balance equation.

Рассматривается задача о последовательном обходе мегаполисов с условиями предшествования и функциями стоимости, допускающими зависимость от списка заданий. Предполагается, что все множество заданий разбито в сумму непустых подмножеств (групп); требуется последовательно решать частичные задачи о посещении мегаполисов в каждой из групп. Очередность посещения самих групп задана априори. Предполагается, что условия предшествования общей задачи локализуются в упомянутых группах. Постановка ориентирована на инженерную задачу управления инструментом при фигурной листовой резке деталей зонами на машинах с ЧПУ. В качестве основного метода используется динамическое программирование в условиях декомпозиции, когда оптимальные процедуры реализуются для каждой из частичных задач в отдельности, после чего осуществляется специальная склейка полученных решений. Тем самым решается вопрос о декомпозиции исходной «большой» задачи в систему частичных задач умеренной размерности. На основе теоретических конструкций построен работоспособный алгоритм, реализованный на ПЭВМ. Приведено решение модельных примеров.

Задачи планирования оптимального пути мобильных роботов особенно активно исследуются в последнее десятилетие. Цель состоит в том, чтобы найти оптимальный или близкий к оптимальному путь от начального терминала до одного или нескольких терминалов в среде с различными препятствиями. С точки зрения минимизации времени перемещения роботов, пройденного расстояния, энергетических затрат или других оптимизационных критериев. В данной работе предлагается гибридный алгоритм, сочетающий алгоритм вероятностной дорожной карты (PRM) и адаптированный генетический алгоритм (AGA) для решения задачи планирования пути с одной или несколькими независимыми целями. В качестве оптимизационного критерия используется длина пути робота. По сравнению с существующими подходами, используемыми в генетических алгоритмах (GA), предлагаемый подход имеет два основных различия. Первое – это представление среды, которое опирается на обработку изображений и морфологические операции, что оказалось более эффективным методом, чем методы на основе клеточного представления. В частности, предложенный способ устраняет необходимость поиска компромисса между точностью и скоростью обработки геометрической информации. Второе – это новая тактика создания начальной популяции генетического алгоритма для ускорения сходимости при наличии нескольких целей. за счёт использования возможностей вероятностного алгоритма дорожной карты. Еще одна особенность реализации алгоритма связана с адекватным (для исследуемой предметной области) выбором числовых параметров, определяющих особенности всех этапов эволюционной стратегии, включая временные затраты на выполнение каждого этапа. В частности, это касается, параметров оператора мутации и элитной стратегии. Предложенный алгоритм был протестирован на двух реальных картах с разной степенью сложности. Эффективность алгоритма подтверждена сравнением с результатами планирования пути для тестовых карт, полученными с помощью стандартного генетического алгоритма и алгоритма оптимизации муравьиной колонии. Экспериментальные результаты показывают, что гибридный алгоритм расширяет возможности обычного генетического алгоритма и находит рациональные варианты пути с лучшим значением целевой функции для одной и нескольких целей за гораздо меньшее время, чем другие традиционные реализации GA.

The article proposes a new formulation of the optimal control problem on an infinite horizon. Usually in such problems, if a Bolza type problem is considered, then its terminal cost depends only on the initial state, additionally, one or another asymptotic requirement can be presented to the right end of the system. A feature of the proposed formulation is the ability to set control not only as a function of time, but also to choose an action-control at the completion of the process itself. This is primarily interesting from the point of view of economic applications, since it is the endless postponement of a generally unprofitable action (for example, ”debt repayment”) that often leads to a lack of optimal control. In addition to this new formulation, some necessary optimality conditions for the case of the simplest dynamics are presented. With these conditions the example of optimizing consumption under various borrowing restrictions is investigated.

Предлагается новая постановка задачи оптимального управления на бесконечном горизонте. В теории управления обычно, если и рассматривается задача типа Больца, то ее конечная стоимость зависит только от начального состояния, а к правому концу системы может быть предъявлено только то или иное асимптотическое требование. Вводится дополнительное управление в терминальное слагаемое, отвечающее за выбор действия после завершения траектории. Это в первую очередь интересно с точки зрения экономических приложений, поскольку именно бесконечное откладывание в целом убыточного действия (например, «погашения долга») часто приводит к отсутствию оптимального управления. Для такой формулировки доказаны необходимые условия оптимальности для случая простейшей динамики. На основе этих условий ищется оптимальное управление в примере оптимизации потребления при различных ограничениях на заимствование.

В статье рассматривается интегрированная задача раскроя и маршрутизации, объединяющая задачи оптимизации раскроя и минимизации стоимости процесса резки на технологическом оборудовании с числовым программным управлением (ЧПУ). Для ее решения и разработки соответствующих оптимизационных алгоритмов, эффективных на практике, необходимо получить научно обоснованные данные о значениях стоимостных параметров процесса листовой резки на технологическом оборудовании с ЧПУ для различных марок и толщин обрабатываемых материалов. В данной статье описывается база данных таких стоимостных параметров этого процесса, приводятся ее схема, основная структура и организация. Для хранения данных стоимостных параметров выбрана реляционная модель, которая состоит из восьми таблиц и содержит информацию о марках и толщинах обрабатываемых материалов, значениях стоимости и плотности материалов, стоимости единицы пути режущего инструмента на рабочем и холостом ходу, а также одной точки врезки. Для удобства работы с данными (визуализация, добавление новых записей, удаление записей, расчет стоимостных параметров для новых марок материалов и толщин, изменение значений параметров), хранящимися в базе, разработано ПО на языке Python. Его можно использовать либо как отдельный продукт, либо совместно с ПО для автоматического проектирования управляющих программ для оборудования листовой резки с ЧПУ при решении практических задач. Значимость работы показана на модельном примере проектирования раскроя и маршрутизации инструмента для одного типа машины лазерной резки.

In control theory, the problem of constructing and investigating attainability domains is veryimportant. However, under perturbations of constraints, this problem lacks stability. It is useful to single outthe case when the constraints are relaxed. In this case, greater opportunities arise in terms of attainability,and often a useful effect can be observed even under slight relaxation of the constraints. This situation isanalogous to the duality gap in convex programming. Very often, it is not possible to specify in advance howmuch relaxation of the constraints will occur. Therefore, attention is focused on the limit of the attainabilitydomains under unrestricted tightening of the relaxed conditions. As a result, a certain attainability problemwith asymptotic-type constraints arises. This problem formulation can be significantly generalized. Namely,we do not consider any unperturbed conditions at all and instead pose asymptotic-type constraints directly bymeans of a nonempty family of sets in the space of ordinary controls. Moreover, not only the case of controlproblems can be considered. In this general formulation, ananalogue of the limit of attainability domainsnaturally appears as the relaxed conditions are infinitely tightened. For asymptotic constraints of this kind,we introduce solutions which are, at the conceptual level, similar to the approximate solutions of J. Warga,but we use filters or directedness, and not just sequences of ordinary solutions (controls). We investigate themost general attainability problem, in which asymptotic-type constraints can be generated by any nonemptyfamily of sets in the ordinary solution space. It is shown, however, that the most practically interesting case isrealized by filters, and the role of ultrafilters is noted as well. The action of constraints is associated with setsand elements of attraction. Furthermore, some properties of the family of all attraction sets are investigated

Вариационное исчисление - область математики, прежде всего математического анализа, исследующая задачи минимизации интегральных функционалов. Эти задачи возникают в самых разных приложениях, прежде всего в физике и механике. В учебнике разобраны классические результаты, касающиеся необходимых и достаточных условий (необходимые условия в форме уравнения Эйлера Лагранжа и его обобщений, условия Лежандра и Якоби, условия Вейерштрасса, гамильтонов формализм и уравнение Гамильтона Якоби). Кроме того, включен материал, касающийся теоремы Нётер и прямых методов вариационного исчисления. Теорема Нётер связывает вариационные симметрии и первые интегралы уравнения Эйлера Лагранжа. Прямые методы вариационного исчисления позволяют изучать вопросы существования и единственности решения задачи вариационного исчисления и развивать численные методы. Основной текст дополнен рядом упражнений и теоретических задач. Учебник предназначен для студентов, обучающихся по специальностям "математика", "прикладная математика", "теоретическая механика" и смежным направлениям.

Статья посвящена развитию методов Ляпунова для анализа устойчивости положения равновесия динамической системы в пространстве вероятностных мер, задаваемой нелокальным уравнением неразрывности. Получены достаточные условия устойчивости, опирающиеся как на анализ поведения негладкой функции Ляпунова в окрестности положения равновесия, так и на исследование квадратичной формы, заданной на касательном пространстве к пространству вероятностных мер. Общие результаты проиллюстрированы исследованием устойчивости положения равновесия для градиентного потока в пространстве вероятностных мер и меры Гиббса для системы связанных математических маятников.

The paper is devoted to developing Lyapunov's methods for analyzing the stability of an equilibrium of a dynamical system in the space of probability measures that is defined by a nonlocal continuity equation. Sufficient stability conditions are obtained based on the basis of an analysis of the behaviour of a nonsmooth Lyapunov function in a neighbourhood of the equilibrium and the investigation of a certain quadratic form defined on the tangent space of the space of probability measures. The general results are illustrated by the study of the stability of an equilibrium for a gradient flow in the space of probability measures and the Gibbs measure for a system of connected simple pendulums.

Рассматриваются абстрактные задачи о достижимости с ограничениями асимптотического характе-ра (ОАХ), в которых результат (аналог множества достижимости) определяется в виде множествапритяжения (МП) в топологическом пространстве. Сами ОАХ порождаются при этом непустымисемействами подмножеств исходного множества обычных (доступных для реализации) решений.Среди этих семейств выделяются фильтры: семейство всех возможных МП получается добавле-нием пустого множества к аналогичному семейству МП, отвечающим каждое ОАХ, порождаемымфильтром; при этом ультрафильтрам всякий раз сопоставляется единственный элемент притяжения.Это позволяет установить ряд важных свойств семейства всех МП, порождаемых фильтрами. Так,в частности, установлено, что данное семейство замкнуто относительно конечных объединений, ука-заны условия, при которых конечное объединение фильтров порождает МП упомянутого семейства,указано семейство синглетонов, являющихся МП, порождаемыми фильтрами. Само же появлениенепустых неодноэлементных МП удается истолковать в терминах немаксимальности фильтра, по-рождающего ОАХ: непустые МП, не являющиеся синглетонами, непременно соответствуют ОАХ,порождаемыми фильтрами, не являющимися ультрафильтрами

Рассматриваются абстрактные задачи о достижимости в топологическом пространстве (ТП) при наличии ограничений асимптотического характера (ОАХ); данные ОАХ могут возникать, в частности, при последовательном ослаблении тех или иных стандартных ограничений. Упомянутые ОАХ порождаются непустым семейством множеств в исходном пространстве обычных решений (управлений). Результатом действия ОАХ можно в упомянутых случаях считать множество притяжения, являющееся предельным по отношению к “обычным” достижимым множествам (ДМ); данные ДМ в задачах управления могут соответствовать областям достижимости при тех или иных конкретных ограничениях на выбор управлений.

The abstract reachability problems in topological space with constraints of asymptotic nature (CAN) are considered; given CAN can arise (in particular) through the consistent weakening of one or more standard constraints. The above-mentioned CAN are generated by a nonempty family of sets in the initial space of usual solutions (controls). As a result of the action of CAN, we can (in the above-mentioned cases) consider attraction set being the limit with respect to “usual” reachable sets (RS); in control problems, a given RS may correspond to reachability domains under one or more concrete constraints on the control choice.

The paper focuses on the Fr´echet subdifferential of the pointwise supremum of the family of functions taken over arbitrary index sets. The all functions in the corresponding family are defined on a Fr´echet smooth space; this class of Banach spaces includes all reflexive spaces and all separable Asplund spaces. The new upper estimates, including non-convex ones, establish for the Fr´echet subdifferentials of the suprema of continuous functions and lower semicontinuous functions. In these estimates, an additional requirement is imposed on every ε-active index that corresponds continuous function: the ε-closeness of the considered point of the graph of the supremum to the graph of this continuous function. The key two-sided inequalities with respect to the graph of continuous function, corresponding to ε-active index, are based on the two-sided unidirectional mean value inequality. The method of proving upper estimates combines the approaches of works of J. S. Treiman, Y. S. Ledyaev, B. S. Mordukhovich, T. Nghia, and P. P´erez–Aros

Исследуется субдифференциал Фреше поточечного супремума семейства функций, индексируемых произвольным множеством. Все рассматриваемые при этом функции заданы на гладком по Фреше пространстве; этот класс банаховых пространств включает в себя как рефлексивные пространства, так и сепарабельные пространства Асплунда. Новые оценки сверху, в том числе невыпуклые, установлены для субдифференциала по Фреше супремума непрерывных и полунепрерывных снизу функций. В этих оценках к каждому ε-активному индексу, соответствующему непрерывной функции, предъявляется дополнительное требование: ε-близость графика этой непрерывной функции к рассматриваемой точке графика супремума. Ключевые двусторонние неравенства для точки графика непрерывной функции, соответствующей ε-активному индексу, основаны на двустороннем однонаправленном варианте теоремы Лагранжа. Метод доказательства верхних оценок сочетает в себе подходы из работ Дж. С. Треймана, Ю. С. Ледяева, М. Ш. Мордуховича, Т. Нгиа и П. Перез-Ароса.

We study necessary optimality conditions for the deterministic mean field type free-endpoint optimal control problem. Our study relies on the Lagrangian approach that treats the mean field type control system as a crowd of infinitely many agents who are labeled by elements of some probability space. First, we derive the Pontryagin maximum principle in the Lagrangian form. Furthermore, we consider the Kantorovich and Eulerian formalizations which describe mean field type control systems via distributions on the set of trajectories and nonlocal continuity equation respectively. We prove that local minimizers in the Kantorovich or Eulerian formulations determine local minimizers within the Lagrangian approach. Using this, we deduce the Pontryagin maximum principle in the Kantorovich and Eulerian forms. To illustrate the general theory, we examine a model system of mean field type linear quadratic regulator. We show that the optimal strategy in this case is determined by a linear feedback.

Рассматриваются задачи маршрутизации перемещений с ограничениями предшествования и функциями стоимости с зависимостью от списка заданий. Исследуются варианты аддитивного агрегирования затрат и минимаксной постановки (задача на узкие места). Предполагается, что вся совокупность заданий, связанных с посещением мегаполисов (непустых конечных множеств), разбита в сумму двух кластеров, в результате чего возникают две частные задачи: предваряющая и финальная. Выполнение заданий финальной задачи может быть начато только после завершения всех заданий предваряющей. Целью исследования является оптимизация композиционных решений в случаях аддитивной и минимаксной постановок. Предлагается единый подход, связанный с раздельным решением предваряющей и финальной задач с использованием широко понимаемого динамического программирования. Построен оптимальный алгоритм для композиционного решения задач ощутимой размерности с приемлемым для практики быстродействием. Возможные применения могут быть связаны с задачей о демонтаже радиационно опасных объектов, задачей управления инструментом при фигурной листовой резке на машинах с ЧПУ, а также с некоторыми транспортными задачами, касающимися логистических проблем в малой авиации.

Problems of movement routing with precedence constraints and cost functions depending on the list of tasks are considered. Variants of additive cost aggregation and minimax statement (bottleneck problem) are studied. It is assumed that the entire set of tasks related to visiting megalopolises (nonempty finite sets) is divided into the sum of two clusters; as a result, two particular problems arise: preliminary and final. The execution of tasks of the final problem can be started only after the completion of all tasks of the preliminary one. The aim of the study is to optimize compositional solutions in the cases of additive and minimax statements. A unified approach is proposed related to the separate solution of the preliminary and final problems using broadly understood dynamic programming. An optimal algorithm for the compositional solution of problems of significant dimension with practically acceptable performance is constructed. Possible applications may include the problem of dismantling radiation-hazardous objects, tool control during shaped sheet cutting on CNC machines, and some transport problems related to logistical problems in small aviation.

Статья посвящена светлой памяти выдающего российского ученого-тополога Евгения Георгиевича Пыткеева (1947–2022), блестящего специалиста в области функционального анализа и теории множеств. Евгений Георгиевич был ярким представителем Уральской топологической школы, основанной профессором Николаем Васильевичем Величко в 70-е годы прошлого века. Закончив обучение в 1972 г. на математико-механическом факультете Уральского государственного университета им. А. М. Горького, Е. Г. Пыткеев стал одним из первых учеников Н.В. Величко и внес значительный вклад в развитие теоретико-множественной топологии и теорию функций. В данной работе приводятся краткие факты из научной биографии Е. Г. Пыткеева, обсуждаются результаты его научных исследований, его научные идеи и методы, а также их перспективы в современной науке. Отдельно отмечена педагогическая и издательская деятельность Евгения Георгиевича и его заметный вклад в становление школьного олимпиадного движения на Урале.

For continuous-time linear stochastic dynamical systems driven by Wiener processes, we consider the problem of designing ensemble filters when the observation process is randomly time-sampled. We propose a continuous-discrete McKean–Vlasov type diffusion process with additive Gaussian noise in observation model, which is used to describe the evolution of the individual particles in the ensemble. These particles are coupled through the empirical covariance and require less computations for implementation than the optimal ones based on solving Riccati differential equations. Using appropriate analysis tools, we show that the empirical mean and the sample covariance of the ensemble filter converges to the mean and covariance of the optimal filter if the mean sampling rate of the observation process satisfies certain bounds and as the number of particles tends to infinity.

Основным объектом работы является нелокальное уравнение баланса, описывающее эволюцию системы из бесконечно большого числа идентичных частиц, которые движутся в соответствии с векторным полем, а также могут исчезать или давать потомка. Для такой системы мы исследуем свойство выживаемости, которое означает, что система, начинающаяся внутри заданного множества мер, не покидает это множество. Мы приводим аналог теоремы о выживаемости типа Нагумо, которая дает эквивалентные формы свойства выживаемости в терминах касательного конуса.

One routing problem with precedence conditions and complicated cost functions is considered. The natural application can be connected with the engineering problem of dismantling of radiation sources. We must choose starting point, route (index permutation), and concrete trajectory of process. In addition, our index permutation defines the sequence of task. The concrete trajectory must be coordinated with this permutation. In addition, different constraints arise. In particular, the choice of the above-mentioned permutation must satisfy to precedence conditions. For introduction of these conditions, the corresponding system of ordered pairs is specified. These ordered pairs are called address. In our mathematical setting, additive criterion is used. This criterion is formed with employment of cost functions with the task list dependence. In the large, the investigated problem can be considered as a control problem with discrete time for that admissible solutions have the hierarchical structure. In this article, we focus on engineering problem connected with dismantling of finite system of radiation sources; for this problem, the above-mentioned task list dependence has the following nature. Namely, in every time, the corresponding executor is affected to those and only those sources that were not dismantled at this time. For solving this applied problem, the widely understood dynamic programming is used. On this foundation, optimal algorithm for PC is constructed. The computing experiment was realized.

Нелокальное уравнение неразрывности описывает динамику системы бесконечного числа однотипных агентов, взаимодействующих через некоторую внешнюю среду. При этом предполагается, что решения этого уравнения – потоки вероятностных распределений. В данном докладе определяются понятия положения равновесия уравнения неразрывности и его устойчивости (в смысле Ляпунова). Основным результатом является теорема, представляющая собой аналог второго метода Ляпунова, использующего функцию Ляпунова для определения устойчивости положения равновесия. Поскольку пространство вероятностных мер нелинейное, рассматривается случай негладкой функции Ляпунова. В докладе обсуждается конструкция барицентрического суб-/супердифференциала, определяющего достаточное условие устойчивости. Классическим примером функции Ляпунова является квадрат расстояния до положения равновесия. Показано, что данная функция является барицентрически супердифференцируемой. На основании этого факта из аналога второго метода Ляпунова выводится аналог первого метода Ляпунова, позволяющий исследовать устойчивость по первому приближению.

Поведение системы бесконечного числа взаимодействующих однотипных агентов удобно моделировать с помощью нелокального уравнения неразрывности. Фазовой переменной в таком случае является вероятностная мера, описывающая распределение агентов по пространству. Предполагается, что пространство мер наделено метрикой Канторовича, а динамика включает в себя управляющие параметры. Рассматривается задача стабилизации решения данного уравнения. Построена локальная стабилизирующая стратегия, т.е. приводящая решение в некоторую окрестность положения равновесия. Также синтезирована глобальная стабилизирующая стратегия, т.е. приводящая предельное положение решения к положению равновесия.

Исследуются вопросы, связанные с расширением задач о достижимости и имеющие целью построение множеств притяжения, являющихся асимптотическими аналогами множеств достижимости в условиях последовательного ослабления системы ограничений. В качестве обобщенных элементов используются конечно-аддитивные меры со свойством слабой абсолютной непрерывности относительно фиксированной меры; последняя (в случае задач управления) определяется обычно в виде сужения меры Лебега на то или иное семейство измеримых множеств. Изучаются свойства обобщенных задач о достижимости и связь их расширений с множествами притяжения в классе обычных решений (управлений), а также свойства этих множеств, имеющие смысл устойчивости при ослаблении ограничений и асимптотической нечувствительности при ослаблении той или иной “части” этих ограничений.

Рассматриваются вопросы, связанные с решением аддитивной задачи последовательного обхода множеств с ограничениями предшествования и функциями стоимости, допускающими зависимость от списка заданий. В качестве базового метода используется широко понимаемое динамическое программирование (ДП), дополняемое в случае задач ощутимой размерности декомпозициями семейства заданий и преобразованием параметров исходной задачи. Возможные применения связаны, в частности, с задачей управления инструментом при фигурной листовой резке деталей на машинах с ЧПУ. В этой задаче важным обстоятельством является учет условий предшествования, имеющих, в частности, следующий смысл: в случае детали с отверстиями резка каждого из внутренних контуров (отвечающих отверстиям) должна предшествовать резке внешнего контура. Сам критерий качества в данной задаче, как правило, является аддитивным. Другой тип ограничений касается избежания термических деформаций деталей. При использовании подхода с применением штрафов за нарушение условий, связанных с эффективным отводом тепла при выполнении врезки, возникают функции стоимости, допускающие зависимость от списка заданий, выполненных на текущий момент времени. Заметим, что в другой прикладной задаче, а именно в задаче о демонтаже радиационно опасных объектов, возникают функции стоимости с зависимостью от списка заданий, не выполненных на данный момент (а, следовательно, касающихся недемонтированных объектов). В итоге мы приходим к очень общей задаче с ограничениями предшествования и функциями стоимости с зависимостью от списка заданий. Применяемая в случае ощутимой размерности декомпозиция с последующей реализацией ДП требует, с одной стороны, разработки методов кластеризации, а, с другой, построения адекватной конструкции распределения глобальных условий предшествования по кластерам. В теоретической части работы обсуждается случай двух кластеров, который позволяет охватить единой схемой целый ряд практически интересных задач диапазонного (в смысле размерности) типа. Указан алгоритм построения композиционного решения, включающий этап обучения кластеризации на основе жадного алгоритма. Данный «композиционный» алгоритм реализован на ПЭВМ; проведен вычислительный эксперимент.

Рассматриваются вопросы, связанные с реализацией множеств притяжения (МП) в абстрактных задачах о достижимости с ограничениями асимптотического характера (ОАХ). Исследуется возможность реализации МП с точностью до произвольной окрестности в классе замыканий множеств достижимости, отвечающих конкретным множествам семейства, порождающего ОАХ. Кроме того, рассматриваются некоторые соотношения для МП, порождаемых различными ОАХ (исследуются условия дизъюнктности МП). Общие конструкции окрестностной реализации МП были применены в случае, когда данные МП рассматривались в пространстве ультрафильтров (у/ф) широко понимаемого измеримого пространства (ИП). В частности, детально исследовался случай, когда ОАХ определяются посредством фильтра; для данного случая, при неограничительных условиях на исходное ИП, в виде МП реализуется множество всех у/ф, мажорирующих исходный фильтр. В данном случае (пространства у/ф) отдельно исследовались варианты оснащения множества у/ф топологиями стоуновского и волмэновского типов.

The optimal tool routing for cutting machines, also known as cutting path optimisation is an important problem in production research. This problem is relevant in various manufacturing environments such as aeronautic, automotive, garment and semiconductor industries. In this paper, we introduce a general solution framework for the discrete Cutting Path Problem which includes: (i) the universal approach to reduce numerous settings of this problem to the appropriate auxiliary instances of the well-known Precedence Constrained Generalized Traveling Salesman Problem; (ii) the proposition of efficient solution methods for finding (sub-) optimal solutions. We carry out extensive computational experiments in order to evaluate performance of the proposed framework and the obtained results demonstrate its efficiency for real-life industrial instances.

Фильтрация сигнала представляет собой задачу восстановления фазового состояния по зашумленным наблюдениям. Один из субоптимальных методов для решения этой задачи включает в себя построение динамики для облака взаимодействующих частиц. В данной работе представлен метод построения фильтра с использованием взаимодействующих частиц для задачи фильтрации, где фазовый процесс является непрерывным, а наблюдения дискретными и случайными по времени. В сравнении с классической непрерывной постановкой выявляется, что некоторые коэффициенты, ответственные за взаимодействие частиц, в данном случае зависят от эмпирической ковариации и не являются постоянными. На текущем этапе анализ проводится для линейной системы. Показана сходимость предложенного фильтра к оптимальному, и проведено сравнение с другими методами.

: доклад посвящен особенностям необходимых условий оптимальности в задачах оптимального управления на бесконечном промежутке, присущим даже линейным управляемым системам. Для достаточно общей линейной системы показывается необходимое для оптимальности краевое условие на сопряженную переменную, удовлетворяющую принципу максимума Л.С. Понтрягина. При этом не требуются никакие априорные предположения на асимптотические свойства целевого функционала, который в пределе может уходить и в бесконечность, и не быть даже полунепрерывным снизу, не требуются также никаких априорных асимптотических предположений на фундаментальную матрицу линейной системы.

Рассматриваются конструкции, связанные с альтернативной разрешимостью нелинейной дифференциальной игры (имеется в виду альтернатива Красовского–Субботина) при условиях обобщенной единственности и равномерной продолжимости обобщенных траекторий, используемых А. В. Кряжимским. Построения используют процедуры на основе метода программных итераций.

Для конфликтно управляемых динамических систем, удовлетворяющих условиям обобщенной единственности и равномерной ограниченности изучается разрешимость задачи на минимакс/максимин в классе обобщённых управлений (известно [1], что такие системы не обладая, вообще говоря, липшицевостью по фазовой переменной, удовлетворяют теореме об альтернативе Н. Н. Красовского, А. И. Субботина). Рассматриваются вопросы корректности такого расширения, то есть возможности аппроксимации обобщённых управлений в пространстве стратегических мер вложениями исходных обычных управлений.

Для конфликтно управляемых динамических систем, удовлетворяющих условиям обобщенной единственности и равномерной ограниченности, изучается разрешимость задачи на минимакс в классе обобщенных управлений. Рассматриваются вопросы согласованности такого расширения, т. е. возможности аппроксимации обобщенных управлений в пространстве стратегических мер вложениями обычных управлений. С этой целью исследуется зависимость множества мер от общего маргинального распределения, заданного на одном из факторов базового пространства. Установлена непрерывность этой зависимости в метрике Хаусдорфа, заданной метрикой, отвечающей ∗-слабой топологии в пространстве мер. Также показана плотность вложений обычных управлений и пар управление-помеха в множества соответствующих обобщенных управлений в ∗-слабых топологиях.

For conflict-controlled dynamical systems satisfying the conditions of generalized uniqueness and uniform boundedness, the solvability of the minimax problem in the class of relaxed controls is studied. The issues of properness of such a relaxation are considered; i.e., the possibility of approximating relaxed controls in the space of strategic measures by embeddings of ordinary controls is analyzed. For this purpose, the dependence of the set of measures on the general marginal distribution specified on one of the factors of the base space is studied. The continuity of this dependence in the Hausdorff metric defined by the metric corresponding to the *-weak topology in the space of measures is established. The density of embeddings of ordinary controls and control–disturbance pairs in sets of corresponding relaxed controls in the *-weak topologies is also shown.

The paper is concerned with a variant of the continuous-time finite state Markov game of control and stopping where both players can affect transition rates, while only one player can choose a stopping time. The dynamic programming principle reduces this problem to a system of ODEs with unilateral constraints. This system plays the role of the Bellman equation. We show that its solution provides the optimal strategies of the players. Additionally, the existence and uniqueness theorem for the deduced system of ODEs with unilateral constraints is derived.

The paper is concerned with the approximation of the deterministic mean field type control system by a mean field Markov chain. It turns out that the dynamics of the distribution in the approximating system is described by a system of ordinary differential equations. Given a strategy for the Markov chain, we explicitly construct a control in the deterministic mean field type control system. Our method is a realization of the model predictive approach. The converse construction is also presented. These results lead to an estimate of the Hausdorff distance between the bundles of motions in the deterministic mean field type control system and the mean field Markov chain. Especially, we pay the attention to the case when one can approximate the bundle of motions in the mean field type system by solutions of a finite systems of ODEs

A retrospective analysis process for the mean field games system (MFGS) is considered. For the first time, Carleman estimates are applied to the analysis of the MFGS. Two new Carleman estimates are derived. They allow us to obtain the Lipschitz stability estimate with respect to a possible error in the input initial and terminal data of a retrospective problem for MFGS. This stability estimate, in turn, implies a uniqueness theorem for the problem under consideration. The idea of using Carleman estimates to obtain stability and uniqueness results came from the field of ill-posed and inverse problems.

Рассматривается задача управления на бесконечном промежутке со слабо обгоняющим критерием оптимальности. В таких задачах необходимое для такого критерия условие (Д. В. Хлопин, 2023) на бесконечности, совместимое при этом с принципом максимума, может выделить континуум решений сопряженной системы. С другой стороны, предложенное А. В. Кряжимским и С. М. Асеевым (2004) условие в виде формулы типа Коши всегда выделяет ровно одну сопряженную траекторию, которая зачастую удовлетворяет соотношениям принципа максимума в рамках задачи со свободным правым концом. Поэтому в данной работе найдены асимптотические предположения на систему, при которых именно это решение (или модификации на его основе для задач с асимптотическими терминальными ограничениями) решает принцип максимума Понтрягина. Полученные в работе асимптотические предположения развивают недавние результаты Д. В. Хлопина (2018, 2023), С. М. Асеева, В. М. Вельова (2019) и С. М. Асеева (2023).

An optimal control problem is considered on an infinite interval with a weakly overtaking optimality criterion. In such problems, the necessary (D.V. Khlopin, 2023) condition at infinity for such a criterion, compatible with the maximum principle, can give a continuum of solutions of the adjoint system. On the other hand, the Cauchy type formula proposed by A.V. Kryazhimsky and S.M. Aseev (2004) always identifies exactly one adjoint trajectory, which often satisfies the maximum principle within the framework of the problem with a free right end. That is why we find asymptotic assumptions on the system that guarantee the compatibility of the Pontryagin maximum principle and this adjoint trajectory (or its modifications for problems with asymptotic terminal constraints). The asymptotic assumptions obtained in this work develop the recent results by D. V. Khlopin (2018, 2023), S.M. Aseev and V.M. Veliov (2019), and S.M. Aseev (2023).

Рассматривается минимаксная задача маршрутизации с элементами декомпозиции. В простейшем случае предполагается, что все множество заданий разбито в сумму двух подмножеств (кластеров), причем выполнение заданий из второго подмножества может быть начато только после завершения всех заданий из первого. Для упомянутой двухкластерной задачи построен алгоритм для нахождения оптимального композиционного решения, включающего маршрут (перестановку индексов заданий) и точку старта, базирующийся на использовании широко понимаемого динамического программирования. На основе данного подхода построен также алгоритм для решения задачи маршрутизации в случае произвольного упорядоченного конечного набора кластеров; алгоритм реализован на ПЭВМ, проведен вычислительный эксперимент. Возможные применения могут быть связаны с некоторыми логистическими задачами в малой авиации, когда требуется обеспечить посещение многих пунктов одним транспортным средством (самолет, вертолет) с ограниченной дальностью беспосадочного полета

Inspired by recent advances in distributed algorithms for approximating Wasserstein barycenters, we propose a novel distributed algorithm for this problem. The main novelty is that we consider time-varying computational networks, which are motivated by examples when only a subset of sensors can observe each time step, and yet, the goal is to average signals (e.g., satellite pictures of some area) by approximating their barycenter. We embed this problem into a class of non-smooth dual-friendly distributed optimization problems over time-varying networks and develop a first-order method for this class. We prove non-asymptotic accelerated in the sense of Nesterov convergence rates and explicitly characterize their dependence on the parameters of the network and its dynamics. In the experiments, we demonstrate the efficiency of the proposed algorithm when applied to the Wasserstein barycenter problem.

Motivated by the need for developing computationally efficient solutions to filtering problem with limited information, this article develops particle filtering algorithms for continuous-time stochastic processes with time-sampled observation process. The state process is modeled by a continuous time linear stochastic differential equation driven by Wiener process, and the observation process is a linear mapping of the state with additive Gaussian noise. For practical reasons, we assume that the observations are time-sampled and the underlying sampling process is a Poisson counter. With the aim of developing particle filters for this system, we first propose a mean-field type process which is an observation driven stochastic differential equation such that the conditional distribution of this process given the observations coincides with the optimal filtering distribution. This model is then used to simulate a collection of particles which are driven only by the sample mean and sample covariance, without simulating the differential equation for the covariance matrix. It is shown that the dynamics of the sample mean and the sample covariance coincide with the optimal ones. An academic example is included for illustration.