We consider variational inequalities with invertible operators \linebreak ${\mathcal A}_s\colon W^{1,p}_0(\Omega)\to W^{-1,p^\prime}(\Omega)$, $s\in\mathbb N$, in divergence form and constraint set $V\subset W^{1,p}_0(\Omega)$ defined by a measurable lower constraint $\varphi\colon\Omega\to\overline{\mathbb R}$ and a measurable upper constraint $\psi\colon\Omega\to\overline{\mathbb R}$, where $\Omega$ is a nonempty bounded open set in~$\mathbb R^n$ ($n\geqslant 2$) and $p>1$. We assume that the sequence $\{{\mathcal A}_s\}$ \,$G$-converges to an invertible operator $\mathcal A\colon W^{1,p}_0(\Omega)\to W^{-1,p^\prime}(\Omega)$. In addition, we assume that the set $\{\varphi=\psi\}$ has nonempty interior, the measure of the intersection of the boundary of the set $\{\varphi=\psi\}$ with $\Omega$ is zero, and there exist functions $\bar\varphi,\bar\psi\in W^{1,p}_0(\Omega)$ such that $\varphi\leqslant{\bar\varphi}\leqslant{\bar\psi}\leqslant\psi$ a.e.\ in~$\Omega$ and the measure of the set $\{\varphi\ne\psi\}\setminus\{{\bar\varphi}\ne{\bar\psi}\}$ is zero. Under these assumptions, we prove that the solutions of the considered variational inequalities converge weakly in $W^{1,p}_0(\Omega)$ to the solution of a similar variational inequality with the operator $\mathcal A$ and the constraint set~$V$. We show that there is a fundamental difference between the considered case and the previously studied case where the measure of the set $\{\varphi=\psi\}$ is zero.

Среди фундаментальных работ по теории управления [1 – 3] можно выделить класс задач, посвященных решению сингулярно возмущенных задач управления [4, 5]. Изучение таких задач часто основывается на методах построения асимптотики решения [6], одним из которых является метод пограничных функций [7].

Рассматривается задача оптимального управления для линейной системы с постоянными коэффициентами и непрямым быстро стабилизирующимся управлением с интегральным выпуклым критерием качества и дешевым управлением в классе кусочно–непрерывных управлений с гладкими геометрическими ограничениями на управление. Исследуется случай, когда у предельной задачи оптимальное управление не меняет свой вид, а у исходной задачи имеется единственная точка смены вида оптимального управления. С помощью метода вспомогательного параметра построено полное асимптотическое разложение определяющего вектора.

We consider variational inequalities with operators ${\mathcal A}_{s}\colon W^{1,p}(\Omega_{s})\to(W^{1,p}(\Omega_{s}))^{\ast}$ in divergence form and constraint sets $V_{s}=\{v\in W^{1,p}(\Omega_{s}): h(v)+\Phi_{s}(v) \leqslant\varphi_{s} \ \text{a.e.\ in} \ \Omega_{s}\}$, where $\Omega_s$ with $s\in\mathbb N$ is a domain in~$\mathbb R^n$ contained in a bounded domain $\Omega\subset\mathbb R^n$ ($n\geqslant 2$), $p>1$, $h$ is a convex function on~$\mathbb R$, $\varphi_{s}$ is a function on~$\Omega_{s}$, and $\Phi_{s}$ is a continuous convex functional on $W^{1,p}(\Omega_{s})$. We describe conditions for a weak convergence of solutions of the considered variational inequalities to the solution of a variational inequality with an operator from $W^{1,p}(\Omega)$ to $(W^{1,p}(\Omega))^{\ast}$ and constraint set defined by the equality $V=\{v\in W^{1,p}(\Omega): h(v)+\Phi(v)\leqslant\varphi \ \text{a.e.\ in} \ \Omega\}$, where~$\varphi$ is a limit function for~$\varphi_{s}$ and~$\Phi$ is a limit functional for~$\Phi_{s}$. These conditions include some requirements on the involved domains, operators, and the mappings defining the constraint sets. In so doing, one of the main conditions is the $G$-convergence of the sequence $\{{\mathcal A}_{s}\}$ to an operator ${\mathcal A}\colon W^{1,p}(\Omega)\to(W^{1,p}(\Omega))^{\ast}$.

We consider a sequence of minimum problems for integral and more general functionals on sets of functions defined by bilateral constraints in variable domains. Under some conditions on the involved domains, functionals, and constraints, we prove that the sequence of minimizers of the considered problems is approximated in W1,p-norms by a special Г-realizing sequence for the minimizer of the Г-limit functional on a limit set. This Г-realizing sequence depends on the given constraints and each its element belongs to the corresponding constraint set. The crucial role in obtaining our approximation result is played by the assumption that the considered sequence of functionals satisfies the uniform convexity condition.

In the talk, we show how an abstract approach to the asymptotic analysis of solutions of variational inequalities is applied to variational inequalities with nonlinear elliptic operators.

Юбилейная статья, посвященная известному математику доктору физико-математических наук, профессору Валерию Владимировичу Волчкову

Рассматривается задача оптимального управления в классе кусочно непрерывных управлений с гладкими геометрическими ограничениями на фиксированном промежутке времени линейной автономной системой с двумя независимыми малыми положительными параметрами, один из которых – ε – является множителем при части производных в уравнениях системы, а второй – μ – в начальных условиях. Показатель качества выпуклый терминальный, зависящий только от значений медленных переменных в конечный момент времени. Обосновано предельное соотношение для вектора, определяющего оптимальное управление, при независимом стремлении малых параметров к нулю. Исследованы два случая: регулярный, при котором оптимальное управление в предельной задаче непрерывно, и сингулярный – с особенностью оптимального управления. Показано, что в регулярном случае решение раскладывается в степенной ряд по ε и μ, в то время как в сингулярном случае асимптотика решения представляет собой ряд Эрдейи, в обоих случаях относительно стандартной калибровочной последовательности ε^k+μ^k при ε+μ→0.

We consider a sequence of minimum problems for integral and more general functionals on sets defined by bilateral constraints in variable domains. We describe conditions under which the sequence of minimizers of the considered problems is approximated in strong norms by Г-realizing sequences for the minimizer of the Г-limit functional on a limit set.

The asymptotic behavior of the solution to the Cauchy problem for an inhomogeneous heat equation with a right-hand side that has a self-similar asymptotic behavior at infinity is investigated. Using the auxiliary parameter method and the regularization of singularities of the integrands, we obtain an asymptotic approximation of the solution in the form of an Erdelyi series in half-integer powers of the time variable with coefficients depending on the self-similar variable and the logarithm of time.

Рассматривается задача оптимального управления значением решения уравнения эллиптического типа в ограниченной области с гладкой границей посредством потока через границу области. Оператор уравнения есть сумма оператора Лапласа с малым коэффициентом и оператора нулевого порядка. Управление стеснено интегральным соотношением. Функционал качества есть сумма квадратов норм отклонения состояния от заданного состояния на границе области и управления. Получено полное асимптотическое разложение по степеням малого параметра решения задачи.

We present a survey of some results in the existence theory for nonlinear partial differential equations with L1-data. We mainly describe the results on the existence and nonexistence of weak solutions of the Dirichlet problem for nonlinear elliptic equations with right-hand side in the Lebesgue spaces Lm, where m is greater or equal 1. In so doing, we also expose our recent results on the subject.

For variational inequalities with nonlinear elliptic operators depending on a parameter and a constraint set defined by bilateral obstacles, we consider some different cases where the lower and upper obstacles satisfy certain conditions (the obstacles can contact or not contact). For every of these cases, we formulate a theorem on the weak convergence of solutions of initial variational inequalities to the solution of a limit variational inequality. In so doing, we show what are the generality and specificity of the results corresponding to the considered cases.

Исследуется асимптотическое поведение решения задачи Коши для неоднородного уравнения теплопроводности с правой частью, имеющей автомодельную асимптотику на бесконечности. С использованием метода вспомогательного параметра и регуляризации особенностей подынтегральных выражений найдено асимптотическое приближение решения в виде ряда Эрдейи по полуцелым степеням переменной времени с коэффициентами, зависящими от автомодельной переменной и логарифма времени.

Рассмотрены задачи дешевого управления с линейной системой с постоянными коэффициентами и интегральным выпуклым критерием качества с гладкими ограничениями на управление в виде шара. При стремлении малого параметра к нулю такая задача сводится к задаче оптимального управления с терминальным критерием качества. Показано, что решение задачи с дешевым управлением в среде без сопротивления раскладывается в асимптотический степенной ряд по малому параметру и ведет себя более регулярно, чем решение задачи быстродействия с аналогичной управляемой системой. Однако в случае наличия возмущенных начальных данных асимптотика определяющего вектора в задачах дешевого управления обладает сложным характером.

We consider the Dirichlet problem in a bounded open set $\Omega$ in $R^n$ ($n\geqslant 2$) for a class of nonlinear degenerate elliptic equations with $L^1$-right-hand-side. The growth and coercivity conditions on the coefficients of equations contain a weight function $\mu\in L^\infty(\Omega)$ and a parameter $p\in(1,n)$ characterizing the growth of the coefficients of equations with respect to the gradient of the unknown function. Depending on the conditions on the function $\mu$, we obtain sharp conditions on the parameter $p$ which guarantee the existence of weak solutions of the considered problem for any $L^1$-right-hand-side.

The Cauchy problem for the regular transport equation is considered. Using Richardson’s technique, a difference scheme of improved accuracy order on three embedded grids is constructed for this problem. This scheme converges in the maximum norm with the third order of convergence rate.

Рассматривается задача Коши для регулярного уравнения переноса. Для этой задачи с использованием техники Ричардсона строится разностная схема повышенного порядка точности на трех вложенных сетках, сходящаяся в равномерной норме с третьим порядком скорости сходимости.

We present some results on the existence and nonexistence of weak solutions of the Dirichlet problem for a class of second-order nonlinear degenerate elliptic equations with L1-right-hand side.

Исследованы задачи оптимального управления в классе кусочно-непрерывных управлений с гладкими геометрическими ограничениями на фиксированном промежутке времени линейной автономной системой с двумя независимыми малыми положительными параметрами, один из которых является множителем при части производных в уравнениях системы, а второй - в начальных условиях. Показатель качества - выпуклый терминальный, зависящий от значений медленных и быстрых переменных в конечный момент времени или только от медленных. Получены и обоснованы полные асимптотические разложения вектора, порождающего оптимальное управление, относительно малых параметров.

We discuss the application of G-convergence and strong G-convergence of nonlinear elliptic operators in divergence form to the study of the convergence of solutions of variational inequalities with bilateral constraints coinciding on a set of positive measure.

We describe conditions on operators and constraints which provide the convergence of solutions of elliptic variational inequalities involved these operators and constraints.

Рассматривается задача Дирихле в ограниченном открытом множестве $\Omega\subset\mathbb R^n$ ($n\geqslant 2$) для класса нелинейных вырождающихся эллиптических уравнений с $L^1$-правой частью. В условия роста и коэрцитивности на коэффициенты уравнений этого класса входят некоторая весовая функция~$\mu\in L^\infty(\Omega)$ и параметр $p\in(1,n)$, характеризующий рост коэффициентов уравнений относительно градиента неизвестной функции. В зависимости от условий на функцию~$\mu$ получены точные условия для параметра~$p$, обеспечивающие существование слабых решений рассматриваемой задачи при любой $L^1$-правой части.

We consider the optimal control problem for a linear system with constant coefficients and a rapidly stabilizing indirect control with integral convex performance index and cheap control in the class of piecewise continuous controls with smooth geometric con- straints on the control. We study the case where the optimal control of the limit problem remains unchanged, whereas for the original problem there is a unique point at which the control form is changed. Using the auxiliary parameter method, we show that the solution is expanded in a power series in a small parameter.

In this paper, we consider the Dirichlet problem in a bounded open set $\Omega\subset\mathbb R^n$ ($n\geqslant 2$) for a class of second-order nonlinear elliptic equations with right-hand side $f$ in $L^1(\Omega)$. We study the summability of entropy and weak solutions of this problem under the stronger assumption that $fG(\vert f\vert)\in L^1(\Omega)$, where $G$ is a nonnegative increasing continuous function on $[0,+\infty)$. We show how the summability of the solutions depends on the function~$G$. Our conditions on $G$ imply that $L^{1+\varepsilon}(\Omega)\subset K_G\subset L^1(\Omega)$ for every $\varepsilon>0$, where $K_G$ is the set of all measurable functions $v$ on $\Omega$ such that $vG(\vert v\vert)\in L^1(\Omega)$.

Рассмотрены вариационные неравенства с обратимыми операторами ${\mathcal A}_s\colon W^{1,p}_0(\Omega)\to W^{-1,p^\prime}(\Omega)$, $s\in\mathbb N$, дивергентного вида и множеством ограничений $V=\{v\in W^{1,p}_0(\Omega):\varphi\leqslant v\leqslant\psi \ \text{п.в.\ в} \ \Omega\}$, где $\Omega$ --- непустое ограниченное открытое множество в~$\mathbb R^n$ ($n\geqslant 2$), $p>1$ и $\varphi,\psi\colon\Omega\to\overline{\mathbb R}$ --- измеримые функции. В предположении, что операторы~${\mathcal A}_s$ $G$-сходятся к обратимому оператору~${\mathcal A}\colon W^{1,p}_0(\Omega)\to W^{-1,p^\prime}(\Omega)$, ${\rm int}\{\varphi=\psi\}\ne\varnothing$, ${\rm meas}(\partial\{\varphi=\psi\}\cap\Omega)=0$ и существуют функции $\bar\varphi,\bar\psi\in W^{1,p}_0(\Omega)$ такие, что $\varphi\leqslant{\bar\varphi}\leqslant{\bar\psi}\leqslant\psi$ п.в.\ в~$\Omega$ и ${\rm meas}(\{\varphi\ne\psi\}\setminus\{{\bar\varphi}\ne{\bar\psi}\})=0$, установлена слабая сходимость в $W^{1,p}_0(\Omega)$ решений $u_s$ указанных вариационных неравенств к решению~$u$ аналогичного вариационного неравенства с оператором~${\mathcal A}$ и множеством ограничений~$V$. Принципиальное отличие рассмотренного случая от ранее исследованного случая, в котором ${\rm meas}\{\varphi=\psi\}=0$, состоит в том, что, вообще говоря, функционалы ${\mathcal A}_su_s$ не сходятся к ${\mathcal A}u$ даже слабо в $ W^{-1,p^\prime}(\Omega)$ и интегралы энергии $\langle{\mathcal A}_su_s,u_s\rangle$ не сходятся к $\langle{\mathcal A}u,u\rangle$.

We consider an optimal distributed control problem in a strictly convex planar domain with a smooth boundary and a small parameter multiplying a highest derivative of an elliptic operator. A zero Dirichlet condition is set on the boundary of the domain, and control is additively involved in the inhomogeneity. The set of admissible controls is the unit ball in the corresponding space of square integrable functions. The solutions of the obtained boundary value problems are considered in the generalized sense as elements of a Hilbert space. The optimality criterion is the sum of the squared norm of the deviation of the state from a given state and the squared norm of the control with some coefficient. Due to this structure of the optimality criterion, the role of the first or second term of the criterion can be strengthen, if necessary. It is more important to achieve a given state in the first case and to minimize the resource cost in the second case. The asymptotics of the problem generated by the sum of a second-order differential operator with a small coefficient at a highest derivative and a zero- order differential operator is studied in detail.

We consider variational inequalities with invertible operators ${\mathcal A}_s\colon W^{1,p}_0(\Omega)\to W^{-1,p^\prime}(\Omega)$, $s\in\mathbb N$, in divergence form and constraint set $V=\{v\in W^{1,p}_0(\Omega):\varphi\leqslant v\leqslant\psi \ \text{a.e.\ in} \ \Omega\}$, where $\Omega$ is a nonempty bounded open set in~$\mathbb R^n$ ($n\geqslant 2$), $p>1$, and $\varphi,\psi\colon\Omega\to\overline{\mathbb R}$ are measurable functions. Under the assumptions that the operators~${\mathcal A}_s$ $G$-converge to an invertible operator $\mathcal A\colon W^{1,p}_0(\Omega)\to W^{-1,p^\prime}(\Omega)$, ${\rm int}\{\varphi=\psi\}\ne\varnothing$, ${\rm meas}(\partial\{\varphi=\psi\}\cap\Omega)=0$, and there exist functions $\bar\varphi,\bar\psi\in W^{1,p}_0(\Omega)$ such that $\varphi\leqslant{\bar\varphi}\leqslant{\bar\psi}\leqslant\psi$ a.e.\ in~$\Omega$ and ${\rm meas}(\{\varphi\ne\psi\}\setminus\{{\bar\varphi}\ne{\bar\psi}\})=0$, we establish the weak convergence in $W^{1,p}_0(\Omega)$ of the solutions~$u_s$ of the specified variational inequalities to the solution~$u$ of a similar variational inequality with the operator $\mathcal A$ and the constraint set~$V$. The fundamental difference between the considered case and the previously studied case, where ${\rm meas}\{\varphi=\psi\}=0$, is that, in general, the functionals ${\mathcal A}_su_s$ do not converge to ${\mathcal A}u$ even weakly in $ W^{-1,p^\prime}(\Omega)$ and the energy integrals $\langle{\mathcal A}_su_s,u_s\rangle$ do not converge to $\langle{\mathcal A}u,u\rangle$.

An asymptotic approximation, as time increases without limit, is constructed to the solution of the Cauchy problem for the heat equation in three-dimensional space. The locally integrable initial function, which does not necessarily tend to zero at infinity, is assumed to have powerlike asymptotics. The method of introduction of an auxiliary parameter, which also involves the regularization of singularities in integrals, plays the central role in the research. The asymptotic expression for the solution is shown to have the form of a series in negative half-integer powers of the time variable, with coefficients depending on self-similar variables and the logarithm of time; the leading term is found explicitly. Using the example of the Cauchy problem for the vector Burgers equation, it is shown that to perform an asymptotic analysis of the solution by the matching method one needs to construct an asymptotic approximation to a solution of the heat equation.

We consider the Cauchy problem for the cubic nonlinear Schr¨odinger equation with a large gradient of the initial function and a small dispersion parameter. The renormalization method is used to construct an asymptotic solution in the explicit form of integral convolution. An asymptotic analogue of the renormalization group property is established under scaling transformations determined by the dispersion parameter. In the case of a negative focusing coefficient, a clarifying expression is obtained for the asymptotic solution in terms of known elliptic special functions.

Рассматривается задача Коши для кубического нелинейного уравнения Шредингера с большим градиентом начальной функции и малым параметром дисперсии. Методом ренормализации строится асимптотическое решение в явном виде интегральной свертки. Устанавливается асимптотический аналог ренормгруппового свойства при масштабных преобразованиях, определяемых параметром дисперсии. В случае отрицательного коэффициента фокусировки получено уточняющее выражение для асимптотического решения через известные эллиптические специальные функции.

Для уравнения теплопроводности в трехмерном пространстве получено асимптотическое приближение решения задачи Коши при неограниченном возрастании времени. Предполагается, что локально интегрируемая начальная функция, вообще говоря, не стремящаяся к нулю на бесконечности, имеет степенную асимптотику. Центральную роль в исследовании играет метод введения вспомогательного параметра, включающий регуляризацию особенностей в интегралах. Доказано, что асимптотика решения имеет вид ряда по отрицательным полуцелым степеням переменной времени с коэффициентами, зависящими от автомодельных переменных и логарифма времени, а главное приближение найдено в явном виде. На примере задачи Коши для векторного уравнения Бюргерса показано, что асимптотический анализ решения методом согласования приводит к необходимости построения асимптотического приближения решения уравнения теплопроводности.

For the heat equation in the three-dimensional space the asymptotic approximation of the solution of the Cauchy problem is obtained as the time infinitely increases. We assume that the locally integrable initial function, which does not generally tend to zero at infinity, has a power asymptotics. The central role in the investigation is played by the method of introducing an auxiliary parameter including the regularization of singularities in integrals. It is proved that the asymptotics of the solution has the form of the series in negative half-integer powers of the time variable with coefficients depending on the self-similar variables and the logarithm of time; in addition, the leading approximation is found in the explicit form. Considering as an example the Cauchy problem for the vector Burgers equation, it is shown that the asymptotic analysis of the solution by the matching method leads to the necessity of constructing an asymptotic approximation of the solution of the heat equation.

The asymptotic behavior of an exponential integral is studied in which the phase function has the form of a special deformation of the germ of a hyperbolic unimodal singularity of type T4,4,4. The integral under examination satisfies the heat equation, its Cole–Hopf transformation gives a solution of the vector Burgers equation in four-dimensional space-time, and its principal asymptotic approximations are expressed in terms of real solutions of systems of third-degree algebraic equations. The obtained analytical results make it possible to trace the bifurcations of an asymptotic structure depending on the parameter of the modulus of the singularity.

In this paper, we investigate a problem of optimal control over a finite time interval for a linear system with constant coefficients and a small parameter in the initial data in the class of piecewise continuous controls with smooth geometric constraints. We consider a terminal convex performance index. We substantiate the limit relations as the small parameter tends to zero for the optimal value of the performance index and for the vector generating the optimal control in the problem. We show that the asymptotics of the solution can be of complicated nature. In particular, it may have no expansion in the Poincar´e sense in any asymptotic sequence of rational functions of the small parameter or its logarithms.

The Cauchy problem for the regular transport equation is considered. The Richardson technique is used to construct an improved difference scheme that converges in the maximum norm with the second order of convergence.

Рассматривается задача Коши для регулярного уравнения переноса. Для этой задачи с использованием техники Ричардсона строится улучшенная разностная схема, сходящаяся в равномерной норме со вторым порядком скорости сходимости.

Изучается асимптотическое поведение экспоненциального интеграла, в котором фазовая функция имеет вид специальной деформации ростка гиперболической унимодальной особенности T_{4,4,4}. Исследуемый интеграл удовлетворяет уравнению теплопроводности, его преобразование Коула-Хопфа дает решение векторного уравнения Бюргерса в четырехмерном пространстве-времени, а его главные асимптотические приближения выражаются через вещественные решения систем алгебраических уравнений третьей степени. Установленные аналитические результаты позволяют увидеть бифуркации асимптотической структуры, зависящей от величины параметра модуля особенности.

The asymptotic behavior of an exponential integral, in which the phase function has the form of a special deformation of the germ of the hyperbolic unimodal singularity T_{4,4,4}, is studied. The integral under consideration satisfies the heat equation, its Cole-Hopf transform gives a solution of the vector Burgers equation in the four-dimensional space-time, and its leading asymptotic approximations are expressed in terms of the real-valued solutions of systems of algebraic equations of the third degree. The established analytical results allow one to see the bifurcations of the asymptotic structure depending on the magnitude of the parameter of the module of the singularity.

We consider a problem on optimally distributed control in a planar strictly convex domain with a smooth boundary and a small parameter at one of the higher derivatives in the elliptic operator. On the boundary of the domain the homogeneous Dirichlet condition is imposed, while the control is additively involved in an inhomogeneity. As a set of admissible controls we use a unit ball in the corresponding space of square integrable functions. The solutions of the studied boundary value problem are treated in the generalized sense as elements of some Hilbert space. As the optimality criterion, we employ the sum of squared norm of the deviation of a state from a prescribed one and the squared norm of the control with some coefficient. Such structure of the optimality criterion allows, if this is needed, to strengthen the role of the first or the second term in this criterion. In the first case it is more important to achieve a prescribed state, while in this second case it is more important to minimize the resource expenses. We study in details the asymptotics of the problem generated by the differential operator with a small coefficient at one of the higher derivatives, to which a zero order differential operator is added.

Рассматривается задача оптимального распределенного управления в плоской строго выпуклой области с гладкой границей и малым параметром при одной из старших производных эллиптического оператора. На границе области в этой задаче задано нулевое условие Дирихле, а управление аддитивно входит в неоднородность. В качестве множества допустимых управлений используется единичный шар в соответствующем пространстве функций, суммируемых с квадратом. Решение получающихся краевых задач рассматриваются в обобщенном смысле как элементы некоторого гильбертова пространства. В качестве критерия оптимальности выступает сумма квадрата нормы отклонения состояния от заданного и квадрата нормы управления с некоторым коэффициентом. Такая структура критерия оптимальности позволяет, при необходимости, усилить роль либо первого, либо второго слагаемого в этом критерии. В первом случае более важным является достижение заданного состояния, а во втором случае — минимизация ресурсных затрат. Подробно изучена асимптотика задачи, порожденная дифференциальным оператором второго порядка с малым коэффициентом при одной из старших производных, к которому прибавлен дифференциальный оператор нулевого порядка.

For a parabolic equation of the Hamilton--Jacobi type $S_t + 2^{-1} (S_x)^2 + V(x,\varepsilon) = S_{xx}$ a special asymptotic solution with a prescribed asymptotics of the function of the potential is constructed. Since this asymptotics is chosen for simplicity in the form of a series in natural powers of a small parameter $\varepsilon$, the asymptotic solution of the equation is presented, respectively, in the form of a series of perturbation theory in integral powers of $\varepsilon$: $S (x,t,\varepsilon) = \sum_{n = 0}^{\infty} \varepsilon^{n} S_n (x,t).$ The leading approximation of the solution is expressed by an exponential integral as follows: $$ S_0 (x,t) = - 2 \ln \int_{0}^{+\infty} \exp \left( -\sigma^3 + t \sigma^2 + x \sigma \right) d{\sigma}, $$ where the versal deformation of the germ of the simple boundary singularity $B_3$ serves as the phase. By Laplace's method the asymptotic behavior of this integral at infinity in the space variable is studied. On the basis of an integral recurrence formula with the homogeneous initial condition for the rest of the coefficients $S_n (x,t)$ the existence theorem is proved. Exponential estimates of these coefficients are also established, what provides the convergence of the corresponding integral convolutions. It is shown that there holds a successive growth of the order of smallness of the residual, which remains after the substitution of the partial sums of the asymptotic solution into the equation under consideration. In addition, the existence of the unique classical solution is proved, so that the constructed asymptotic series is its asymptotic expansion. The statement of the problem under consideration, in the light of known approaches to studying the Hamilton--Jacobi equation, is also discussed in the work. The connection of the obtained result with the general theory of singularities of differentiable maps is shown.

For integral and more general functionals defined on Sobolev spaces associated with variable domains, we desribe conditions for the convergence of their minimizers and minimum values on sets defined by constraints of different forms

We describe conditions for the convergence of solutions of variational inequalities with nonlinear operators in divergence form depending on the natural parameter and associated with n-dimensional domains depending on the same parameter.

Рассматривается задача оптимального управления на фиксированном промежутке времени линейной системой с постоянными коэффициентами с малым параметром в начальных условиях и терминальным критерием качества в классе кусочно-непрерывных управлений с гладкими геометрическими ограничениями. Обоснованы предельные соотношения для оптимального значения функционала качества и вектора, определяющего оптимальное управление, при стремлении малого параметра к нулю. Показано, что асимптотика решения может иметь сложный характер. В частности, может не раскладываться в асимптотический ряд в смысле Пуанкаре ни по какой асимптотической последовательности рациональных функций от малого параметра и логарифмов от него.

In this paper, we investigate a problem of optimal control over a finite time interval for a linear system with constant coefficients and a small parameter in the initial data in the class of piecewise continuous controls with smooth geometric constraints. We consider a terminal convex performance index. We substantiate the limit relations as the small parameter tends to zero for the optimal value of the performance index and for the vector determining the optimal control in the problem. We show that the asymptotics of the solution can be of complicated nature. In particular, it may have no expansion in the Poincare sense in any asymptotic sequence of rational functions of the small parameter or its logarithms.

Рассматривается задача оптимального управления линейной автономной системой с медленными и быстрыми переменными на фиксированном промежутке времени в классе кусочно-непрерывных управлений с гладкими геометрическими ограничениями в виде шара. Показатель качества — терминальный выпуклый, зависящий от медленных и быстрых переменных. Обосновано предельное соотношение для вектора, определяющего управляющую функцию, при стремлении малого параметра к нулю. Предельное соотношение уточняется для случая задачи непрямого управления с терминальным показателем качества, представляющим собой сумму значений двух строго выпуклых непрерывно дифференцируемых функций, первая из которых зависит только от медленных переменных, а вторая — только от быстрых и с минимумом в нуле. При этом показано, что первая компонента определяющего вектора сходится к определяющему вектору предельной задачи, а вторая компонента стремится к нулю. Получена полная асимптотика определяющего вектора по степеням малого параметра в задаче непрямого управления системой материальных точек в среде с сопротивлением.

We consider variational inequalities with invertible operators ${\mathcal A}_s\colon W^{1,p}_0(\Omega)\to W^{-1,p^\prime}(\Omega)$, $s\in\mathbb N$, in divergence form and constraint set $V\subset W^{1,p}_0(\Omega)$ defined by a measurable lower constraint $\varphi\colon\Omega\to\overline{\mathbb R}$ and a measurable upper constraint $\psi\colon\Omega\to\overline{\mathbb R}$, where $\Omega$ is a nonempty bounded open set in~$\mathbb R^n$ ($n\geq 2$) and $p>1$. We assume that the sequence $\{{\mathcal A}_s\}$ \,$G$-converges to an invertible operator $\mathcal A\colon W^{1,p}_0(\Omega)\to W^{-1,p^\prime}(\Omega)$ and that, for every nonempty open set $\omega$ in $\mathbb R^n$ with $\overline{\omega}\subset\Omega$, there exist functions $\varphi_\omega,\psi_\omega\in W^{1,p}_0(\Omega)$ such that $\varphi\leq\varphi_\omega\leq\psi_\omega\leq\psi$ a.e.\ in $\Omega$ and $\varphi_\omega<\psi_\omega$ a.e.\ in $\omega$. Under these assumptions, we establish that the solutions of the considered variational inequalities converge weakly in $W^{1,p}_0(\Omega)$ to the solution of a similar variational inequality with the operator $\mathcal A$ and the constraint set~$V$. On this basis, we obtain similar results for more general operators from $W^{1,p}_0(\Omega)$ to $W^{-1,p^\prime}(\Omega)$.

Рассматривается задача оптимального управления для линейной системы с постоянными коэффициентами с интегральным выпуклым критерием качества, содержащим два малых параметра (один - при интегральном слагаемом, другой - в начальных условиях), в классе кусочно–непрерывных управлений с гладкими геометрическими ограничениями. Такие задачи называются задачами с “дешевым” управлением. Показано, что предельной задачей будет задача с терминальным критерием качества. Утверждается, что если предельная задача фактически одномерна, а исходная - нeт, то асимптотика решения может носить сложный характер. В частности, может не раскладываться в асимптотический ряд в смысле Пуанкаре ни по какой асимптотической последовательности рациональных функций от малого параметра и логарифмов от него.

Рассматривается задача оптимального управления для одной линейной системы с постоянными коэффициентами с интегральным выпуклым критерием качества содержащим малый параметр при интегральном слагаемом в классе кусочно-непрерывных управлений с гладкими геометрическими ограничениями. Строится асимптотика вектора определяющего вид оптимального управления. Утверждается, что решение задачи ведет себя более регулярно, чем задача быстродействия в случае, когда оптимальное управление в предельной задаче имеет разрыв, а в исходной задаче -- непрерывно. Показано, что определяющий вектор раскладывается в ряд по вторым степеням малого параметра. Главной отличительной особенностью статьи от предыдущих работ авторов заключается в том, что рассматривается задача с ``дешевым'' управлением.

Для параболического уравнения типа Гамильтона-Якоби $S_t + 2^{-1} (S_x)^2 + V(x,\varepsilon) = S_{xx}$ строится специальное асимптотическое решение с заданной асимптотикой функции потенциала. Поскольку для простоты эта асимптотика выбирается в виде ряда по натуральным степеням малого параметра $\varepsilon$, асимптотическое решение уравнения представляется, соответственно, в виде ряда теории возмущений по целым степеням $\varepsilon$: $S (x,t,\varepsilon) = \sum_{n = 0}^{\infty} \varepsilon^{n} S_n (x,t).$ Главное приближение решения выражается через экспоненциальный интеграл следующим образом: $$ S_0 (x,t) = - 2 \ln \int_{0}^{+\infty} \exp \left( -\sigma^3 + t \sigma^2 + x \sigma \right) d{\sigma}, $$ где фазой служит версальная деформация ростка простой краевой особенности $B_3$. Асимптотическое поведение этого интеграла на бесконечности по пространственной переменной исследовано методом Лапласа. На основе интегральной рекуррентной формулы с однородным начальным условием для остальных коэффициентов $S_n (x,t)$ доказана теорема существования. Установлены также экспоненциальные оценки этих коэффициентов, гарантирующие сходимость соответствующих интегральных сверток. Показано, что имеет место последовательное нарастание порядка малости невязки, остающейся после подстановки частичных сумм асимптотического решения в рассматриваемое уравнение. Кроме того, доказано существование единственного классического решения, асимптотикой которого является построенный асимптотический ряд. В работе также обсуждается постановка рассматриваемой задачи в свете известных подходов к изучению уравнения Гамильтона-Якоби. Показана связь полученного результата с общей теорией особенностей дифференцируемых отображений.

For a parabolic equation of the Hamilton-Jacobi type $S_t + 2^{-1} (S_x)^2 + V(x,\varepsilon) = S_{xx}$ a special asymptotic solution with a prescribed asymptotics of the function of the potential is constructed. Since this asymptotics is chosen for simplicity in the form of a series in natural powers of a small parameter $\varepsilon$, the asymptotic solution of the equation is presented, respectively, in the form of a series of perturbation theory in integer powers of $\varepsilon$: $S (x,t,\varepsilon) = \sum_{n = 0}^{\infty} \varepsilon^{n} S_n (x,t).$ The leading approximation of the solution is expressed by an exponential integral as follows: $$ S_0 (x,t) = - 2 \ln \int_{0}^{+\infty} \exp \left( -\sigma^3 + t \sigma^2 + x \sigma \right) d{\sigma}, $$ where the versal deformation of the germ of the simple boundary singularity $B_3$ serves as the phase. By Laplace's method the asymptotic behavior of this integral at infinity in the space variable is studied. On the basis of an integral recurrence formula with a homogeneous initial condition for the rest of the coefficients $S_n (x,t)$ an existence theorem is proved. Exponential estimates of these coefficients are also established; they provide the convergence of the corresponding integral convolutions. It is shown that there holds a successive growth of the order of smallness of the residual, which remains after the substitution of the partial sums of the asymptotic solution into the equation under consideration. In addition, the existence of the unique classical solution is proved, so that the constructed asymptotic series is its asymptotic expansion. The statement of the problem under consideration is also discussed in the light of known approaches to studying the Hamilton-Jacobi equation. The connection of the obtained result with the general theory of singularities of differentiable maps is shown.