Для манипулятора с кинематической избыточностью решается задача по перемещению груза из начального положения равновесия в конечное. Импульсные управления используются для приводов робота. Метод декомпозиции динамической системы опирается на процедуру замораживания связей. При оптимизации применяются вариации движений манипулятора, связанные с избыточностью кинематических связей.

Smoothness of the boundary of reachable sets of a linear control system with constraints on a control in the form of a ball in the space Lp for p > 1 is studied. It is shown that, under the condition of controllability of the system, the boundary of its reachable set is a C1-smooth submanifold of dimension n – 1 in the state space R^n. The proof relies on the properties of support functions and duality relations for convex subsets of Rn.

Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН, Уральский математический центр, Уральский федеральный университет им. первого Президента России Б.Н. Ельцина и Уральское отделение Российской академии наук проводит с 28 по 29 января 2026 года четвёртый Международный семинар "Теория управления и теория обобщённых решений уравнений Гамильтона – Якоби" (CGS'2026), посвящённый 80-летию академика А.И. Субботина. Место проведения конференции — г. Екатеринбург, Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН. Председатель Программного комитета: академик Н.Ю. Лукоянов. Сопредседатели Организационного комитета: член-корреспондент РАН Н.Н.Субботина, А.М.Тарасьев, В.С.Пацко. Конференция посвящена обсуждению современного состояния теории управления и теории обобщённых решений уравнений типа Гамильтона – Якоби. Тематика семинара охватывает следующие научные направления: · Обобщённые решения уравнений типа Гамильтона – Якоби. · Управление динамическими системами в условиях конфликта и неопределенности. · Задачи оценивания и идентификации в динамических системах. · Обратные задачи и управляемые распределенные системы. · Численные алгоритмы решения задач оптимального управления и краевых задач для уравнений типа Гамильтона – Якоби. · Задачи управления в механике. Конференция проводится в смешанном формате (очно и дистанционно).

Рассматривается нелинейная система дифференциальных уравнений с обобщенным воздействием в правой части и запаздыванием. Предложена формализация понятия решения для рассматриваемой системы в случае, когда реакция системы на обобщенное воздействие не единственна. Получено интегральное включение, описывающее все множество решений. Для того случая предложена формализация понятия устойчивости по Хайерсу-Уламу-Рассиасу и приведены достаточные условия наличия такой устойчивости рассматриваемой системы.

We consider a controlled linear differential equation with constraints as in the author’s previous paper. The controller’s goal is to displace an initial state of x0 to a specified final state xT. An observer, unaware of the system’s state vector, attempts to determine xT by analyzing the vector y(t), which is linked to x(t). Using y(t), the observer constructs a set of possible values for xT. When specific constraints are used for the controls (or disturbances, from the observer’s opinion), this set becomes an ellipsoid, characterized by a set of differential equations. The controller, in turn, aims to achieve its own objectives while simultaneously generating the most challenging signals for the observer. Unlike the previous article of the author not scalar, but two-criterion control observation problem is considered here.It is solved in functional spaces in two ways, without passing to sampling of a system. The solution boils down to determination of finite-dimensional parameters of optimal control from the system of linear algebraic equations. As the third option the problem can be solved also by sampling, but then the solution turns out piecewise-constant. We explore an example to illustrate thes concepts.

The paper studies the reachable sets of control systems over a fixed time interval, subject to control constraints defined as a ball in the $L_p$ space for $p \geq 1$. The dependence of reachable sets on the parameter $p$ is investigated. For affine-control nonlinear systems, it is established that these sets are continuous in the Hausdorff metric for all $p$, including $p=1$ and $p=\infty$. In the case of linear systems, estimates for the Hausdorff distance between the sets are derived, and their asymptotic behavior as $p\to 1$ and $p\to \infty$ is analyzed. For $p = 1$, the reachable set, up to closure, coincides with the reachable set of the system with impulse control under a constraint on the magnitude of the impulse. The case $p = \infty$ corresponds to geometric (instantaneous) constraints on the control.

В работе рассматривается задачи минимизации вырожденного квадратичного функционала на траекториях квазилинейной управляемой системы. Особенность задачи состоит в том, что решение задачи существует в пространстве обобщенных функций. Для исходной задачи строится вспомогательная задача. Её решение существует в пространстве абсолютно непрерывных функций. Для ее решения применяются методы разложения по параметру и принцип максимума Л.С. Понтрягина. В результате конечного числа итераций строится субоптимальное управление для вспомогательной задачи. С помощью этого управления конструируется субоптимальное управление для исходной задачи. Это управление имеет импульсные составляющие, сосредоточенные в начальный и конечный момент. Между этими моментами управлением является непрерывной функцией. Построенное управление является программным управлением. С его помощью можно построить позиционное управление, которое в случае воздействия возмущений на систему будет порождать импульсно-скользящий режим.

В статье рассматривается свойство устойчивости по Хайерсу-Уламу-Рассиасу для нелинейных систем дифференциальных уравнений с обобщенным воздействием в правой части. В связи с тем, что у рас- сматриваемых систем правая часть неограничена, стандартное определение рассматриваемого свойства устойчивости не может быть использовано. Приведена формализация понятия устойчивости по Хайерсу- Уламу-Рассиасу для нелинейных систем дифференциальных уравнений с запаздыванием и разрывными траекториями. Получены достаточные условия, обеспечивающие такую устойчивость для нелинейной системы дифференциальных уравнений с запаздыванием и обобщенным воздействием в правой части.

The article considers the Hyers–Ulam–Rassias stability property for nonlinear systems of differential equations with a generalized effect on the right-hand side. Since the right-hand side of the systems under consideration is unbounded, the standard definition of the stability property under consideration cannot be used. The formalization of the Hyers–Ulam–Rassias stability concept for nonlinear systems of differential equations with delay and discontinuous trajectories is given. Sufficient conditions are obtained that ensure such stability for a nonlinear system of differential equations with delay and a generalized effect on the right-hand side.

The evasion problem under uncertainty is considered for discrete-time systems with an initially linear structure and state constraints, where controls u, U, and v act; u and v enter additively, and U enters into the system matrix. In the considered control synthesis problem, which we call the enhanced evasion problem, the aim of v is either to avoid the trajectory to hit a given terminal set at a given final moment, as well as a sequence of sets specified at previous moments, or to violate at least one of the state constraints, whatever the admissible realizations of u and U. The presence of U introduces nonlinearity into the systems and leads to bilinear type systems. It is assumed that the terminal and intermediate sets are parallelepipeds, the controls u and v are constrained by parallelotope-valued constraints, U by interval constraints, and the state constraints are specified in the form of zones. A polyhedral method for synthesizing controls v is developed using polyhedral (parallelepiped-valued) tubes, which can be found from recurrence relations using explicit formulas. To obtain a solution to the problem under consideration, a solution to an auxiliary one-step polyhedral evasion problem with bilinearity is found. Its connections with the problems of interval analysis concerning the so-called sets of quantifier solutions to interval equations are noted. Examples illustrating the efficiency of the method are given.

For dynamic control systems with uncertain disturbances, the efficiency of two ap proaches to solving problems of estimating set-valued states of the system are analyzed: the first approach is based on the apparatus of set-valued analysis and uses the properties of trajectory tubes of differential inclusions, the second one relates to the techniques of M. Hukuhara’s derivatives for set-valued mappings. A comparison of the presented estimation techniques for obtaining external (with respect to inclusion operation) estimates of the studied reachable sets of dynamic systems is given, the advantages and possible drawbacks of the mentioned techniques for approximate estimation of reachable sets for the studied dynamic systems with uncertainty are discussed.

Разработаны подходы построения экспертной системы для рейтинговой оценки грузоотправителей на основе анализа действующих правил и регламентов приема груза к перевозке на железнодорожном транспорте. Построение рейтинговой оценки базируется на введении балльной оценки по набору показателей, в качестве которых выбраны: тарифный класс груза, объем отгружаемых грузов, наличие обоюдной претензионной работы и судебных исков, желаемое направление транспортировки грузов, его соотношение с лимитирующими и развивающимися направлениями. Рейтинг грузоотправителей позволит принимать к перевозке оптимальные для перевозчика грузы, не создавая противоречий с существующими нормативными актами. В ситуации, когда в соответствии с очередью недискриминационного доступа два грузоотправителя имеют одинаковый приоритет, предлагается проводить дополнительное ранжирование по индивидуальному рейтингу грузоотправителя. Таким образом, авторами в работе предпринята попытка повысить экономическую эффективность железнодорожного перевозчика, как полноценного субъекта рыночных отношений без ущерба социальных функций, возложенных на него государством.

Approaches have been developed for constructing an expert system for rating shippers based on an analysis of current rules and regulations for accepting cargo for transportation by rail. The rating system is based on a point system based on a set of indicators, including cargo tariff class, volume of shipped cargo, presence of mutual claims and lawsuits, desired cargo transportation route, and its relationship with limiting and developing routes. Shipper ratings will allow the carrier to accept optimal cargo for transportation without creating conflicts with existing regulations. In situations where two shippers have equal priority according to the non-discriminatory access queue, additional ranking is proposed based on the individual shipper's rating. Thus, the authors attempt to improve the economic efficiency of rail carriers as full-fledged market participants without compromising the social functions assigned to them by the state.

Моделирование движений манипуляционного робота с большим числом степеней свободы приводит к сложным нелинейным управляемым системам дифференциальных уравнений большой размерности. Методы декомпозиции позволяют разделить движения и перейти к управляемым системам малой размерности. Показывается, что при разделении обобщенных координат для манипуляционного робота с электромеханическими приводами используется процедура замораживания связей. Она позволяет исходную задачу управления движениями манипуляционногоробота заменить последовательностью простых задач управления системами с одной степенью свободы. Решения этих задач ищутся в классе импульсных управлений. При их нахождении ищутся траектории прямых путей принципа наименьшего действия Гамильтона неуправляемой системы. Импульсное управление в начальный момент времени переводит движение на траекторию прямого пути, а в конечный момент гасит его скорость. Заданное ограничение на энергию импульсного управления позволяет найти субоптимальное по времени движения управление.

Рассматриваются множества достижимости в заданный момент времени линейных управляемых систем с интегральными ограничениями на управление в виде шара в пространстве Lp при p > 1. Множества достижимости являются выпуклыми компактами в конечно мерном евклидовом пространстве. Для p = 2 множество достижимости при выполнении условий управляемости системы - эллипсоид в Rn, граница которого - компактное гладкое многообразие. В работе исследуется вопрос о том, сохранится ли гладкость границы множества достижимости при других значениях p. Получены достаточные условия, при выполнении которых граница множества достижимости оказывается гладким многообразием размерности n - 1 для 1 < p ≤ 2.

We consider a controlled linear differential equation. The controller must transfer the initial state x0 of the equation to a given final state xT. This process is followed by the observer, who tries to determine xT but does not know the state vector of the equation and obtains information via the vector y(t) connected with x(t). With the aid of the signal y(t) , the observer can determine an information set containing xT. In the case of special constraints for controls (or disturbances from the point of view of the observer), the information set becomes the ellipsoid, the parameters of which are described by the system of differential equations. In the game, the controller, who is the main player, endeavors to accomplish its task and maximize the information set simultaneously. An example is considered.

Рассмотрены задачи гарантированного оценивания фазовых координат многошаговых динамических систем при наличии неточных ограничений на помехи, которые, в частности, могут быть случайными. Применяется подход, связанный с неточными вероятностями, где вместо средних значений используются функции последовательного нижнего предсказания, обладающие свойствами положительной однородно- сти и супераддитивности. Основное внимание уделяется дискретным по времени системам. Для таких си- стем обобщается метод динамического программирования при определении информационных множеств. Для работоспособности метода предполагаются дополнительные ограничения на возмущения, обеспечива- ющие компактность рассматриваемых функционалов в пространстве ограниченных измеримых функций. Приводятся необходимые сведения о частичных порядках и критериях оптимальности для компактных множеств ограниченных функций. Указано условие справедливости метода динамического программирования для систем, обратимых по времени. Исследованы примеры.

При нахождении управлений электрических приводов манипуляционного робота используется процедура замораживания связей.

The article considers planning and decision support for a certain transport company delivering cargo to customers using external transport vehicles using data from a freight exchange. The peculiarity of the study is the simultaneous solution of problems of cargo placement in a vehicle, selection of vehicles and routes.

In this paper, the problem on asymptotics of eigenvalues of the controllability Gramian for a linear system with a small parameter is considered. This problem arises in the study of the convexity of attainability sets for control systems with integral constraints on the control on a small time interval. To verify the asymptotics of the eigenvalues, the controllability Gramian is expanded in a series in powers of a small parameter. We show that coefficients of this expansion can be calculated recursively. Also, we present examples demonstrating applications of the approach proposed to second-order systems.

В работе рассматриваются множества достижимости в заданный момент времени линейных управляемых систем с интегральными ограничениями на управление в виде шара в пространстве $L_p$ при $p>1$. Множества достижимости являются выпуклыми компактами в конечномерном евклидовом пространстве $\mathbb R^n$. Для $p=2$, как известно, множество достижимости при выполнении условий управляемости является эллипсоидом в $\mathbb R^n$, граница которого компактное гладкое многообразие, диффеоморфное сфере. В работе получены достаточные условия, при выполнении которых граница множества достижимости оказывается гладким многообразием размерности $n-1$ для всех $1

The paper considers reachable sets at a given time of linear control systems with integral constraints on control in the form of a ball in the space $L_p$ for $p>1$. The reachable sets are convex compact sets in the finite-dimensional Euclidean space $\mathbb R^n$. For $p=2$, it is known that the reachable set, under the controllability condition, is an ellipsoid in $\mathbb R^n$ whose boundary is a compact smooth manifold diffeomorphic to a sphere. In this paper we obtain sufficient conditions under which the boundary of the attainability set turns out to be a smooth manifold of dimension $n-1$ for all $1

Рассматривается задача уклонения в условиях неопределенности для многошаговых систем с исходно линейной структурой и фазовыми ограничениями, где действуют управления u, U и v, причем u и v входят аддитивно, а U — в матрицу системы. В рассматриваемой задаче синтеза управлений, которую называем задачей усиленного уклонения, цель v — либо избежать попадания траектории на заданное терминальное множество в заданный конечный момент времени и на последовательность множеств, заданных в предыдущие моменты, либо нарушить хотя бы одно из фазовых ограничений, каковы бы ни были допустимые реализации u и U. Наличие U привносит в системы нелинейность и приводит к системам билинейного типа. Предполагается, что терминальное и промежуточные множества являются параллелепипедами, управления u и v стеснены параллелотопозначными ограничениями, U — интервальными, а фазовые ограничения заданы в виде полос. Разработан полиэдральный метод синтеза управлений v с использованием полиэдральных (параллелепипедозначных) трубок, которые могут быть найдены из рекуррентных соотношений по явным формулам. Для получения решения рассматриваемой задачи найдено решение вспомогательной одношаговой полиэдральной задачи уклонения с билинейностью. Отмечены ее связи с проблематикой из интервального анализа, касающейся так называемых множеств кванторных решений интервальных уравнений. Приведены примеры, иллюстрирующие работоспособность метода.

The evasion problem under uncertainty is considered for discrete-time systems with an initially linear structure and state constraints, where controls u, U, and v act; u and v enter additively, and U enters into the system matrix. In the considered control synthesis problem, which we call the enhanced evasion problem, the aim of v is either to avoid the trajectory to hit a given terminal set at a given final moment, as well as a sequence of sets specified at previous moments, or to violate at least one of the state constraints, whatever the admissible realizations of u and U. The presence of U introduces nonlinearity into the systems and leads to bilinear type systems. It is assumed that the terminal and intermediate sets are parallelepipeds, the controls u and v are constrained by parallelotope-valued constraints, U by interval constraints, and the state constraints are specified in the form of zones. A polyhedral method for synthesizing controls v is developed using polyhedral (parallelepiped-valued) tubes, which can be found from recurrence relations using explicit formulas. To obtain a solution to the problem under consideration, a solution to an auxiliary one-step polyhedral evasion problem with bilinearity is found. Its connections with the problems of interval analysis concerning the so-called sets of quantifier solutions to interval equations are noted. Examples illustrating the efficiency of the method are given

The paper considers reachable sets at a given time for control-affine systems with integral control constraints in the space Lp for p>1. The goal of the paper is to characterize controls leading to the boundary of reachable sets as solutions to extremal problems and to study the necessary optimality conditions in the form of the Pontryagin maximum principle for these controls. A reachable set is interpreted here as the image of the set of admissible controls under a nonlinear mapping defined by a dynamical system. We also study the application of the maximum principle to describe projections of a reachable set onto a subspace and its sections by a hyperplane. The dependence of a reachable set on the control resource is studied. The results obtained are illustrated using the example of linear systems. It is shown that in this case the optimality conditions for boundary controls are necessary and sufficient.

В работе исследуется выпуклость множеств достижимости квазилинейных систем с интегрально-квадратичными ограничениями на управление. Опираясь на работы Б. Т. Поляка о выпуклости образа малого гильбертова шара при его нелинейном отображении, изучается случай, когда в правой части системы существует малая нелинейность. При нулевом значении малого параметра, квазилинейная система становится линейной, а ее множество достижимости - выпуклым. В докладе показано, что для сохранения выпуклости множеств достижимости таких систем при малых значениях параметра достаточно, чтобы производная нелинейного отображения была липшицевой. Доклад включает в себя постановку задачи, исследование нелинейного отображения с параметром и применение к квазилинейным системам управления.

В статье исследуется выпуклость множеств достижимости квазилинейных систем с интегрально-квадратичными ограничениями на управление. Опираясь на работы Б.Т. Поляка по выпуклости образа малого гильбертова шара при его нелинейном отображении, мы исследуем случай с малой нелинейностью в правой части управляемой системы. При нулевом значении малого параметра, квазилинейная система становится линейной. Исследование позволяет утверждать, что для сохранения выпуклости множеств достижимости таких систем производная нелинейного отображения должна быть липшицевой

The paper considers the problem of of finding the reachable set for a linear system with determinate and stochastic Liu’s uncertainties. As Liu’s uncertainties, we use uniformly distributed ordinary uncertain values defined in some uncertain space and independent of one another. This fact means that the state vector of the system becomes infinite-dimensional. As determinate uncertainties, we consider feedback controls and unknown initial states. Besides, there is a constraint in the form of a sum of uncertain expectations. The initial estimation problem reduces to a determinate multi-step problem for matrices with a fixed constraint at the right end of the trajectory. This reduction requires some information on Liu’s theory. We give necessary and sufficient conditions for the finiteness of a target functional in the obtained determinate problem. We provide a numerical example of a two-dimensional two-step system.

One routing problem with precedence conditions and complicated cost functions is considered. The natural application can be connected with the engineering problem of dismantling of radiation sources. We must choose starting point, route (index permutation), and concrete trajectory of process. In addition, our index permutation defines the sequence of task. The concrete trajectory must be coordinated with this permutation. In addition, different constraints arise. In particular, the choice of the above-mentioned permutation must satisfy to precedence conditions. For introduction of these conditions, the corresponding system of ordered pairs is specified. These ordered pairs are called address. In our mathematical setting, additive criterion is used. This criterion is formed with employment of cost functions with the task list dependence. In the large, the investigated problem can be considered as a control problem with discrete time for that admissible solutions have the hierarchical structure. In this article, we focus on engineering problem connected with dismantling of finite system of radiation sources; for this problem, the above-mentioned task list dependence has the following nature. Namely, in every time, the corresponding executor is affected to those and only those sources that were not dismantled at this time. For solving this applied problem, the widely understood dynamic programming is used. On this foundation, optimal algorithm for PC is constructed. The computing experiment was realized.

The control problems for set-valued motions of a nonlinear dynamic system described by a system of differential equations with nonlinearity in state velocities and with an uncertainty in initial states and in some other parameters are considered. Here we assume that we know only the bounding set for uncertain terms and any statistical information is not available. Approaches are given for solving the optimal control problem for such systems, including the problem of the fastest transfer of the system state inside a given terminal set. The research gives the further development for theoretical schemes initiated in [1–3] and continues the previous studies [4,5]. Numerical simulations related to the proposed techniques and based on new state estimation ideas and on new algorithms are presented to illustrate the main results.

Рассматриваются линейные многошаговые конфликтно-управляемые системы с двумя управлениями, где цель одного - привести траекторию на заданное терминальное множество в заданный момент времени, не нарушая фазовых ограничений, цель другого противоположна. При этом возникают так называемые задачи сближения и уклонения. Предполагается, что терминальное множество и ограничения на управления заданы в виде параллелепипедов, а фазовые ограничения - в виде полос. Представлены полиэдральные методы решения обеих задач с использованием параллелотопо- и параллелепипедо-значных трубок соответственно. Хотя методы решения задачи сближения предложены автором ранее, но здесь представлены их новые свойства: даны новые удобные достаточные условия получения невырожденных сечений в процессе построения полиэдральных трубок разрешимости; для случая без фазовых ограничений найдены гарантированные оценки положения траектории относительно таких трубок и терминального множества.

We consider linear discrete-time systems with two conflicting controls, where the aim of one is to steer the trajectory to a given terminal set at a given time without violating state constraints, the aim of the other is opposite. In this case, the so-called approach and evasion problems arise. It is assumed that the terminal set and control constraints are given in the form of parallelepipeds, the state constraints are in the form of zones. Polyhedral methods for solving both problems are presented using parallelotopo-valued and parallelepiped-valued tubes respectively. Although methods for the approach problem were proposed by the author earlier, their novel properties are presented here: new convenient sufficient conditions for obtaining nondegenerate cross-sections during calculations of polyhedral solvability tubes are given; for the case without state constraints, guaranteed estimates are found for the trajectory position relative to these tubes and the terminal set.

Рассмотрены задачи гарантированного оценивания фазовых состояний многошаговых динамических систем при наличии неточных ограничений на помехи. Применяется подход, связанный с неточными вероятностями. Обобщается метод динамического программирования для определения информационных множеств. Исследованы примеры.

: Рассмотрена задача управления наблюдениями для общей линейной многошаговой системы с возмущениями, ограниченными функционалом в виде суммы выпуклых функций. Для наблюдающей стороны найдены определяющие соотношения для информационных множеств, содержащих вектор ненаблюдаемых координат. Управляющая сторона стремится сформировать траекторию ненаблюдаемых векторов с закрепленными концами так, чтобы максимизировать размеры информационного множества в конце процесса. Для ограничений в виде суммы модулей эта задача рассмотрена на примере. Для квадратичных ограничений получены необходимые и достаточные условия разрешимости задачи для управляющей стороны.

В рамках теории неопределенности Лиу рассмотрена задача оценивания области достижимости дискретной системы, содержащей неизвестные параметры, стесненные заданными ограничениями. Исходная задача с неопределенными помехами сведена к детерминированной многошаговой задаче с матрицами. Получены необходимые и достаточные условия конечности минимума функционала, задающего ограничения в детерминированной задаче. Рассмотрен пример.

В рамках теории неопределенности Баодинга Лиу введены некоторые новые понятия и рассмотрены их свойства. В частности, введены регулярные функции неопределенности на несчетном произведении пространств. Получен аналог теоремы Ломницкого — Улама из традиционной теории вероятностей. Указаны необходимые и достаточные условия для того, чтобы функция, заданная на банаховом пространстве ограниченных функций, была функцией распределения для некоторого неопределенного отображения. Обобщены некоторые понятия теории Лиу для несчетного количества объектов. Дан анализ примеров, показывающих сходство и отличие теории Лиу от теории вероятностей. На примерах рассмотрено приложение теории Лиу к теории оценивания.

Рассматривается новый класс задач управления некоторой транспортной системой. Особенность системы заключается в переменном количестве участников процесса управления. Перегруппировка участников вместе с их объединением и рассредоточением определяется заданными целевыми точками посещения, начальной точкой отправления и конечной точкой завершения движения системы, построенными траекториями. Структура мультиагентной транспортной системы подразумевает наличие основных и вспомогательных перевозчиков, причем первые могут осуществлять перевозку вторых на некоторых этапах. Именно в такие моменты число участников процесса управления изменяется. В построенной математической модели перемещений рассматриваемой системы и ее управления получена гибридная система дифференциальных уравнений с переключениями, содержащая непрерывную и дискретную составляющие. Решается задача нахождения оптимальных маршрутов при определенных ограничениях.

Рассматривается задача оптимального выбора стратегий грузоперевозчиков. Формализация использует теорию игр. В роли первого игрока выступают перевозчики, а в роли второго игрока присутствуют потребители транспортных услуг. Строится модель предпочтения потребителей транспортных услуг на основе анализа рынка предложений. При выборе стратегий в задаче с несколькими критериями проводится в два этапа. На первом отбрасываются доминируемые решения, а на втором используются различные варианты обобщенных целевых функций. Целевой функцией при выборе параметров перевозки для второго игрока является величина, отражающая прибыль игрока от обслуживания выбравших его предложение клиентов. Анализ данных предложений электронных бирж грузоперевозок показывает, что по популярным направлениям существует значительный разброс цен, что подтверждает предположение о наличии нескольких критериев при выборе перевозчика.

Рассматриваются вопросы взаимодействия участников перевозочного процесса с точки зрения выбора наилучшего способа доставки груза. Назначенный маршрут и грузоперевозчик может динамически изменяться в процессе доставки в зависимости от нештатных ситуаций.

Рассматриваются перемещения на плоскости некоторой совокупности объектов с посещением заданных точек. Совокупность объектов или система состоит из основного и вспомогательных, причем последние могут перемещаться как вместе или на базе основного так и отдельно. Таким образом формальное количество перемещаемых объектов в системе не является постоянным. Уравнения, описывающие такие перемещения, выписаны в виде гибридной системы с переключениями. Ставится задача оптимизации перемещений двух и более объектов на плоскости при определенных ограничениях.

Рассматривается задача эллипсоидального оценивания состояний нелинейной динамической системы, описываемой системой дифференциальных уравнений с квадратичной нелинейностью по скоростям состояний и с неопределенностями в начальных состояниях и некоторых других параметрах. Предполагается известным только ограничивающее множество для неопределенных величин и какая-либо дополнительная статистическая информация недоступна. С использованием теории неравенств Гамильтона — Якоби — Беллмана выведены дифференциальные уравнения для параметров оценивающих эллипсоидов. Рассмотрены примеры, иллюстрирующие полученные результаты.

We consider the problem of ellipsoidal estimation of the states of a nonlinear dynamic system described by a system of differential equations with quadratic nonlinearity in the state velocities and with uncertainties in the initial states and some other parameters. Only the bounding sets for uncertain quantities are assumed to be known and no additional statistical information is available. Using the theory of Hamilton–Jacobi–Bellman inequalities, differential equations for the parameters of the estimating ellipsoids are derived. The example is included to illustrate the result.

Рассматривается задача оптимальной импульсной стабилизации для автономной линейной системы дифференциальных уравнений с запаздыванием. Предлагается метод построения приближений для оптимального импульсного стабилизирующего управления.

Множество достижимости управляемой системы в заданный момент времени можно рассматривать как образ множества допустимых управлений при нелинейном отображении в пространство состояний. В докладе обсуждаются некоторые свойства множеств достижимости, основное внимание уделено описанию границы множеств.

he reachable set of a control system at a given time instant can be consideredas an image of the set of admissible controls into the state space under a nonlinearmapping. The article discusses some properties of reachable sets, the main attentionis paid to the description of the set boundary.

Рассматривается задача описания границы множества достижимости нелинейной управляемой системы при различных типах ограничений на управление. Множество достижимости трактуется как образ множества допустимых управлений при отображении вход-выход, порождаемом рассматриваемой системой. В докладе приводятся необходимые условия экстремума для прообразов граничных точек множества достижимости, дана конкретизация данных условий для геометрических, интегральных и комбинированных ограничений на управление. Особое внимание уделяется системам с ограничением на управление в L_p.

We consider the problem of describing the boundary of the reachable set of a nonlinear control system for various types of control constraints. The reachable set is interpreted here as the image of the set of admissible controls under the input-output mapping generated by the control system. The report provides the necessary extremum conditions for the inverse images of the boundary points of the reachability set, and specifies these conditions for geometric, integral and combined control constraints. Particular attention is paid to systems with control constraints in the space L_p.

В работе рассматриваются множеств достижимости в заданный момент времени для аффинных по управлению систем с интегральными ограничениями на управление в пространстве Lp при p>1 . Целью работы является характеризация управлений, ведущих на границу множеств множеств достижимости, как решений экстремальных задач и исследование необходимых условий оптимальности в форме принципа максимума Понтрягина для данных управлений. Множество достижимости трактуется как образ множества допустимых управлений при нелинейном отображении, определяемом динамической системой. Изучается также применение принципа максимума для описания проекций множества достижимости на подпространство и его сечений гиперплоскостью. Исследована зависимость множества достижимости от ресурса управления. Полученные результаты проиллюстрированы на примере линейных систем. Показано, что в этом случае условия оптимальности для граничных управлений являются необходимыми и достаточными.

The paper considers reachable sets at a given time for control-affine systems with integral control constraints in the space Lp for p>1. The goal of the paper is to characterize controls leading to the boundary of reachable sets as solutions to extremal problems and to study the necessary optimality conditions in the form of the Pontryagin maximum principle for these controls. A reachable set is interpreted here as the image of the set of admissible controls under a nonlinear mapping defined by a dynamical system. We also study the application of the maximum principle to describe projections of a reachable set onto a subspace and its sections by a hyperplane. The dependence of a reachable set on the control resource is studied. The results obtained are illustrated using the example of linear systems. It is shown that in this case the optimality conditions for boundary controls are necessary and sufficient.

Предлагается единый подход к задаче описания границы множества достижимости нелинейной управляемой системы при различных типах ограничений на управление. В рамках данного подхода множество достижимости трактуется как образ подмножества банахова пространства при его отображении в другое банахово пространства нелинейным отображением вход-выход, порождаемом рассматриваемой системой. С использованием конструкций негладкого анализа доказаны необходимые условия экстремума для прообразов граничных точек множества достижимости. Из указанных условий следует характеризация граничных точек множества достижимости при геометрических, интегральных и комбинированных ограничениях на управление.

The paper is devoted to elaboration of polyhedral techniques for solving two control problems for linear discrete-time systems with uncertainties under state constraints, namely, the terminal approach problem and the terminal evasion one. Such problems arise in systems with two controls, where the aim of the first is to steer the trajectory onto a given terminal set at a given instant without violating the state constraints, the aim of the other is opposite. It is assumed that the terminal set is a parallelepiped, the controls are bounded by parallelotope-valued constraints, and the state constraints are given in the form of so-called zones. We present techniques for solving both problems basing on polyhedral (parallelotope-valued or parallelepiped-valued) tubes. The techniques for solving the approach problem were proposed by the author earlier, but here additional properties of them are investigated. In particular, for the case without state constraints, guaranteed estimates are found for the trajectory that ensure that it is inside the tube. Convenient sufficient conditions are given to guarantee the obtaining of nondegenerate cross-sections during the calculations. For the evasion problem, a common solution scheme is considered, and then polyhedral techniques are proposed. The whole parametric families of external and internal polyhedral estimates for the solvability tubes for both problems are presented and compared. An illustrative example is given.

Работа посвящена развитию полиэдральных методов решения двух задач управления линейными многошаговыми системами с неопределенностями при фазовых ограничениях — задач терминального сближения и уклонения. Они возникают в системах с двумя управлениями, где цель одного — привести траекторию на заданное конечное множество в заданный момент времени, не нарушая фазовых ограничений, цель другого — противоположна. Предполагается, что конечное множество — параллелепипед, управления стеснены параллелотопозначными ограничениями, фазовые ограничения заданы в виде полос. Представлены методы решения обеих задач с использованием полиэдральных (параллелотопо- или параллелепипедо-значных) трубок. Методы решения задачи сближения предложены автором ранее, но здесь исследуются их дополнительные свойства. В частности, для случая без фазовых ограничений найдены гарантированные оценки для траектории, обеспечивающие ее нахождение внутри трубки. Даны удобные достаточные условия, гарантирующие получение невырожденных сечений в процессе вычислений. Для задачи уклонения сначала рассматривается общая схема решения, а затем предлагаются полиэдральные методы. Приводятся и сравниваются целые параметрические семейства внешних и внутренних полиэдральных оценок трубок разрешимости обеих задач. Приведен иллюстрирующий пример.

Рассматривается вырожденная задача стабилизации линейной автономной системы дифференциальных уравнений с последействием и импульсными управлениями. Для ее регуляризации используется невырожденный критерий качества переходных процессов, близкий к вырожденному. Применяется преобразование регуляризованной задачи стабилизации для импульсных управлений к вспомогательной невырожденной задаче оптимальной стабилизации для не импульсных управлений, содержащих последействие. При решении вспомогательной задачи используется принцип динамического программирования Беллмана. При нахождении определяющей системы уравнений для коэффициентов квадратичного функционала Беллмана применяется постановка задачи оптимальной стабилизации в функциональных пространствах состояний и управлений. Получено представление для импульса оптимального стабилизирующего управления. Сложная задача нахождения решения определяющей системы уравнений для функционала Беллмана заменяется задачей нахождения решения определяющей системы уравнений для коэффициентов представления оптимального стабилизирующего управления. Последняя задача имеет меньшую размерность. Найдена асимптотическая зависимость оптимального стабилизирующего управления от параметра регуляризации, когда размерность вектора управления совпадает с размерностью вектора состояний.

A degenerate problem of stabilization of a linear autonomous system of differential equations with aftereffect and impulse controls is considered. For its regularization, a non-degenerate criterion for the quality of transient processes is used, which is close to a degenerate one. The regularized stabilization problem for impulse controls is replacыed by an auxiliary non-degenerate optimal stabilization problem for non-impulse controls containing aftereffect. Bellman’s dynamic programming principle is used to solve the auxiliary problem. When finding the governing system of equations for the coefficients of the quadratic Bellman functional, the formulation of the optimal stabilization problem in the functional spaces of states and controls is used. A representation is obtained for the pulse of the optimal stabilizing control. The difficult problem of finding a solution to the governing system of equations for the Bellman functional is replaced by the problem of finding a solution to the governing system of equations for the coefficients of the representation of the optimal stabilizing control. The latter problem has lower dimension. The asymptotic dependence of the optimal stabilizing control on the regularization parameter is found when the dimension of the control vector coincides with the dimension of the state vector.