управление

Methods for obtaining sufficient conditions of asymptotic stability and instability for systems of differential equations containing linear delay are proposed. Based on these conditions, some systems of linear differential equations are investigated, one of them is stabilized over an infinite period of time.

Исследуются асимптотические свойства одного класса систем дифференциальных уравнений с линейным запаздыванием нейтрального типа, а также систем с постоянным запаздыванием, содержащих в правой части экспоненциальный множитель, к которым сводятся системы с линейным запаздыванием заменой аргумента. Системы с постоянным запаздыванием не являются липшицевыми и к ним не применимы традиционные методы исследования асимптотической устойчивости (в частности, методы функционалов Ляпунова-Красовского). Здесь и в более ранних публикациях установлено, что асимптотические свойства таких систем аналогичны свойствам решений систем с постоянным запаздыванием с малым параметром при производной. Последнее свойство будет использовано при стабилизации таких систем.

Рассматриваются системы, содержащие линейное запаздывание.Ввиду наличия неограниченного запаздывания, возникают некоторые проблемы при нахождении их численного решения. Тем не менее, удается установить ряд особенностей, позволяющих в отдельных случаях эффективно применять некоторые численные методы.

Изучается дифференциальное уравнение математической модели вертикального маятника, в правой части которого содержатся члены с линейным запаздыванием. Исследуемое уравнение имеет нейтральный тип. Такие уравнения встречаются в задачах механики, биологии, в экономике. Исследуется задача стабилизации данной управляемой математической модели. Система содержит два линейных запаздывания. Поскольку эти запаздывания возрастают при t → ∞, стабилизация производится на бесконечном промежутке времени t. Успокоение системы, не содержащей в правой части нейтральных членов, производится с использованием алгоритма стабилизации, предложенного для обыкновенных дифференциальных уравнений. Для дальнейшей стабилизации используется алгоритм стабилизации разностных систем. Приведён конкретный числовой пример и осуществлён поиск численных решений уравнений, получающихся в процессе стабилизации. Для решения уравнений типа Ляпунова и численного подсчёта решений использовался пакет прикладных задач MatLab.

В статье исследуется задача приближенного «он-лайн» восстановления неизвестного возмущения, действующего на систему, описываемую обыкновенными дифференциальными уравнениями. В предположении, что часть координат системы измеряется неточно,  предложен алгоритм ее решения, основанный на комбинации методов управления с обратной связью и методов теории некорректных задач. Установлена сходимость построенных приближений к точному возмущению при подходящем согласовании ошибки измерений и соответствующим образом подобранных задействованных в вычислениях сеток.

The article studies the problem of approximate online reconstruction of an unknown disturbance acting on a system described by ordinary differential equations. Under the assumption that some of the system coordinates are measured inaccurately, an algorithm for solving it is proposed, based on a combination of feedback control methods and methods of the theory of ill-posed problems. The convergence of the constructed approximations to the exact disturbance is established with appropriate matching of the measurement error and appropriately selected grids involved in the calculations.

управление

t

При нахождении управлений электрических приводов манипуляционного робота используется процедура замораживания связей.

В статье рассматривается динамическая система, содержащая фазовый вектор объекта управления, управляющее воздействие субъекта управления и априори неопределенное возмущение. Динамика объекта управления описывается общим линейным дискретным векторно-матричным рекуррентным уравнением. Реализации фазового вектора, вектора управления и вектора возмущения стеснены заданными геометрическими ограничениями, описываемыми соответствующими совместными конечными системами линейных алгебраических уравнений и неравенств. Рассматривается задача детерминированной апостериорной идентификации элементов действительных матриц, фигурирующих в уравнении модели динамики объекта управления. Для решения исследуемой задачи предлагается метод оптимизации адаптивной идентификации и селекции модели динамики управляемого объекта, описываемой общим линейным дискретным векторно-матричным рекуррентным уравнением, из заданного множества моделей. Предлагаемый метод реализуется в виде конечной последовательности процедур, допускающих их алгоритмизацию. Представленные в статье результаты могут быть использованы при формировании математических моделей различных технических, производственных, социально-экономических, медицинских и других сложных динамических объектов и процессов.

This article considers a dynamical system containing a phase vector of a control object, a control action of a control subject, and an a priori uncertain disturbance. The dynamics of the control object are described by a general linear discrete-time vector-matrix recurrence equation. Realizations of the phase vector, control vector, and disturbance vector are constrained by specified geometric constraints described by the corresponding joint finite systems of linear algebraic equations and inequalities. The problem of deterministic a posteriori identification of elements of real matrices appearing in the equation of a model of the dynamics of the control object is considered. To solve the problem under study, a method for optimizing the adaptive identification and selection of a model of the dynamics of the controlled object, described by a general linear discrete-time vector-matrix recurrence equation, from a given set of models is proposed. The proposed method is implemented as a finite sequence of procedures that allow their algorithmization. The results presented in the article can be used in the formation of mathematical models of various technical, industrial, socio-economic, medical and other complex dynamic objects and processes.

В работе рассматривается дискретная динамическая система, в которой фазовый вектор объекта управления описывается квазилинейным дискретным рекуррентным векторно-матричным уравнением при наличии возмущения. Предполагается, что в каждый период времени реализации фазового вектор объекта управления и вектора возмущения ограничены выпуклыми многогранниками компактами в соответствующих конечномерных векторных пространствах, а вектор управляющего воздействия ограничен конечным множеством в соответствующем конечномерном векторном пространстве. В рамках детерминированного минимаксного подхода, в работе формулируется задача ε-оптимального программного управления минимаксным оцениванием прогнозируемых в заданный период времени фазовых состояний объекта управления. Для ее решения предлагается методика, которая реализуется в виде конечного набора одношаговых операций над векторами в конечномерных векторных пространствах, решении задач линейного и выпуклого математического программирования и дискретной оптимизации. Полученные результаты могут быть использованы при разработке и создании автоматизированных навигационных систем, систем автоматического управления подвижными техническими объектами и сложными экономическими системами.

This paper considers a discrete-time dynamical system in which the phase vector of the control object is described by a quasilinear discrete-time recurrent vector-matrix equation in the presence of a disturbance. It is assumed that, at each period of time, the phase vector of the control object and the disturbance vector are bounded by convex compact polyhedrons in the corresponding finite-dimensional vector spaces, while the control action vector is bounded by a finite set in the corresponding finite-dimensional vector space. Using the deterministic minimax approach, this paper formulates the problem of ε-optimal program control using minimax estimation of the control object's phase states predicted for a given time period. To solve this problem, a methodology is proposed that is implemented as a finite set of one-step operations on vectors in finite-dimensional vector spaces, solving problems of linear and convex mathematical programming and discrete optimization. The results obtained can be used in the development and creation of automated navigation systems, automatic control systems for mobile technical objects, and complex economic systems.

The study describes the problem of developing an intelligent system for optimizing adaptive management of the investment projecting process. It is proposed to use network models and methods as tools for economic and mathematical modeling of solving this problem. The paper considers a new optimization network economic and mathematical model that takes into account the presence of several acceptable technologies in the investment projecting process, various options for their implementation, and uses a vector objective function to assess the quality of its implementation. Based on solving a set of network modeling problems for investment projecting that correspond to acceptable technologies and various options for their implementation, using the construction of critical paths and the method of scalarization of a specific vector objective function, a method for solving the formed multicriteria optimization problem is proposed. The developed original methodology makes it possible to implement the process of automation and optimization of adaptive control of the investment projecting process based on network modeling, including coding of all investment projecting operations, determining the interrelationships of operations, the sequence and timing of their execution. Based on the proposed methodology, an intelligent computer system for optimizing adaptive control of the investment projecting process has been developed and created in the presence of several technologies and a vector objective function. The created intelligent computer system makes it possible to automate, optimize and support management decision-making using feedback when implementing complex investment projects.

В статье рассматриваются вопросы оптимизации управления процессом инвестиционного проектирования. В качестве инструментария для экономико-математического моделирования предлагается использовать сетевые модели и методы. В данной статье предлагается и описывается новая оптимизационная сетевая экономико-математическая модель, учитывающая наличие в процессе инвестиционного проектирования нескольких вариантов технологий и векторного критерия качества для оценки их реализации. Решается задача векторной оптимизации процесса инвестиционного проектирования, задача построения критического пути, задача календарного планирования. Представленная модель реализует процесс сетевого моделирования, включающий определение последовательности действий инвестиционного проектирования с определением их взаимосвязей и кодированием работ. Построение сетевой модели инвестиционного проекта позволяет определить оптимальное время выполнения проекта и осуществить его выполнение в целом. Предлагаемая сетевая модель оптимизации управления процессами инвестиционного проектирования позволяет оптимизировать управление данным процессом для выбранных показателей его качества. Оптимизация процесса инвестиционного проектирования на основе сетевого моделирования является одним из способов обоснования привлекательности конкретных инвестиционных проектов, что способствует принятию инвесторами взвешенных решений.

The article considers an intelligent automation system for optimization of the control process for forecasting the phase states of a linear discrete-time dynamical systems. The objective function of the control process estimates the guaranteed (minimax) result of forecasting the admissible states of the phase vector of the system. For the process under study, the formalization of a multi-step problem of optimization of program control for forecasting the state of the phase vectors of the system in a fixed period of time with a selected objective function is described. The solution to this problem is described in the form of a technique that allows for the implementation of intelligent automation of optimization of forecasting control. The proposed technique is implemented as a finite sequence of one-step operations that allow their algorithmization. The results obtained in the article can be used to develop and create intelligent computer systems for optimizing the control of complex dynamical objects.

В работе рассматривается интеллектуальная система автоматизации оптимизации процесса управления прогнозированием фазового состояния линейной дискретной динамической системы. Целевая функция процесса управления оценивает гарантированный (минимаксный) результат прогнозирования допустимых состояний фазового вектора системы. Для исследуемого процесса описывается формализация многошаговой задачи оптимизации программного управления прогнозированием состояния фазового вектора системы в фиксированный период времени при выбранной целевой функции. Решение данной задачи описывается в форме методики, позволяющей реализовать интеллектуальную автоматизацию оптимизации управления прогнозированием. Предлагаемая методика осуществляется в виде конечной последовательности одношаговых операций, допускающих их алгоритмизацию. Полученные в статье результаты могут быть использованы для разработки и создания интеллектуальных компьютерных систем оптимизации управления сложными динамическими объектами.

Вариационное исчисление - область математики, прежде всего математического анализа, исследующая задачи минимизации интегральных функционалов. Эти задачи возникают в самых разных приложениях, прежде всего в физике и механике. В учебнике разобраны классические результаты, касающиеся необходимых и достаточных условий (необходимые условия в форме уравнения Эйлера Лагранжа и его обобщений, условия Лежандра и Якоби, условия Вейерштрасса, гамильтонов формализм и уравнение Гамильтона Якоби). Кроме того, включен материал, касающийся теоремы Нётер и прямых методов вариационного исчисления. Теорема Нётер связывает вариационные симметрии и первые интегралы уравнения Эйлера Лагранжа. Прямые методы вариационного исчисления позволяют изучать вопросы существования и единственности решения задачи вариационного исчисления и развивать численные методы. Основной текст дополнен рядом упражнений и теоретических задач. Учебник предназначен для студентов, обучающихся по специальностям "математика", "прикладная математика", "теоретическая механика" и смежным направлениям.

For a system of nonlinear differential equations with the Gerasimov–Caputo fractional derivative, the problem of reconstruction an unknown input is considered. The input is unknown in advance as well as a trajectory of the system, but the information about its position is available for inaccurate online measurements. A reconstruction algorithm for solving this problem in the uniform norm is proposed. It is based on the Tikhonov regularization method and the Krasovskii extremal aiming method, which provide the stability of the algorithm with respect to informational noises and computational errors. A numerical example illustrating the application of the developed technique on a specific fractional order system is provided.

Рассматривается задача отслеживания траектории динамической системы с дробной производной типа Капуто, на которую воздействует неограниченное возмущение. На основе методов регуляризации некорректных задач и конструкций теории гарантированного позиционного управления предложен решающий задачу устойчивый к информационным помехам и погрешностям вычислений алгоритм, входные данные которого являются неточные непрерывные онлайн измерения позиции системы.

The problem of tracking the trajectory of a dynamic system with a fractional derivative of the Caputo type, which is affected by an unbounded disturbance, is considered. Based on the regularization methods of ill-posed problems and constructions of the theory of guaranteed positional control, an algorithm is proposed that solves the problem and is resistant to information noises and camputational errors, the input data of which are inaccurate continuous online measurements of the system's position.

Рассматривается супердиффузионное уравнение с дробными производными Рисса по пространству и с несколькими переменными запаздываниями по времени. Приводятся конструкции дробного аналога компактной схемы с кусочно-кубической интерполяцией и экстраполяцией продолжением, который имеет второй порядок малости относительно шага дискретизации по времени $\Delta$ и четвертый относительно шага дискретизации по пространству $h$. Этот метод является базовым для последующих конструкций. Изучается порядок невязки без интерполяции метода. Выписываются коэффициенты разложения невязки относительно $\Delta$. Выписывается также асимптотическое разложение невязки с кусочно-кубической интерполяцией и экстраполяцией продолжением. Приводится уравнение для главного члена асимптотического разложения глобальной погрешности. При определенных предположениях обосновывается законность применения процедуры экстраполяции по Ричардсону. Строится соответствующий метод, который имеет порядок $O(\Delta^4 + h^4)$ в энергетической норме. Приводится результат численного моделирования для супердиффузионного уравнения с двумя переменными запаздываниями. Результат численного эксперимента полностью соответствуют теоретическим выводам о порядках сходимости.

Рассматривается задача динамического восстановления возмущений, действующих на нелинейную систему, состоящую из двух взаимосвязанных уравнений параболического вида. В предположении, что в дискретные моменты времени измеряется (с ошибкой) решение системы, указывается алгоритм решения указанной задачи. Алгоритм, основанный на идеалогии теории управления с обратной связью, является устойчивым к информационным помехам и погрешностям вычислений. Приводится оценка скорости сходимости алгоритма.

управление

Получены условия существования квадратичных функционалов Ляпунова-Красовского с конечномерными операторами для линейных автономных систем дифференциальных уравнений с запаздыванием.

Relay controls are used to solve the problem of moving an inertialess manipulator from the given starting position to the desired final equilibrium position. A method for finding relay control switching points is proposed. The main issue is to find the conditions for a solution to a nonlinear boundary value problem of a system of differential equations that determines the trajectory of the manipulator.

Применяются релейные управления при решении задачи перевода безынерционного манипуляционного робота из заданного начального положения равновесия в заданное конечное положение равновесия. Предлагается метод нахождения точек переключения релейных управлений. Задача сводится к нахождению условий существования решения нелинейной краевой задачи для системы дифференциальных уравнений, определяющих траекторию движения манипулятора.

This is the fourth of a series of papers devoted to application of i-smooth analysis in the theory of positional differential games for systems with delays.

This is the third of a series of papers devoted to application of i-smooth analysis in the theory of positional differential games for systems with delays.

This is the second of a series of papers devoted to application of i-smooth analysis in the theory of positional differential games for systems with delays.

This is the first of a series of papers devoted to application of i-smooth analysis in the theory of positional differential games for systems with delays.

Проведен сравнительный анализ самых востребованных блокчейн проектов на применимость для решения задачи разработки протокола электронного голосования. Выделены те принципы технологии blockchain, которые позволяют улучшить существующие решения в области электронного голосования Разработаны критерии оценки надежности разрабатываемого протокола. Показано, что технология blockchain и принципы, на которых она базируется, позволяют использовать ее положительные качества для создания электронной системы голосования, в которой предусмотрено устранение недостатков существующих систем электронного голосования, сформулированных ранее.

A comparative analysis of the most popular blockchain projects was carried out to determine their applicability for solving the problem of developing an electronic voting protocol. The principles of blockchain technology are highlighted that make it possible to improve existing solutions in the field of electronic voting. Criteria for assessing the reliability of the protocol being developed have been developed. It is shown that blockchain technology and the principles on which it is based make it possible to use its positive qualities to create an electronic voting system, which provides for the elimination of the shortcomings of existing electronic voting systems formulated earlier.

Хотя основы теории позиционных дифференциальных игр систем с последействием, описываемых функционально-дифференциальными уравнениями (ФДУ), были разработаны еще в 70-х годах ХХ столетия Н.Н. Красовским, Ю.С. Осиповым и А.В. Кряжимским, тем не менее, до сих пор нет работ, которые, аналогично [Н.Н. Красовский, А.И. Субботин. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974, 457 с.] (далее по тексту [KC]), представляли бы «завершенную» теорию позиционных дифференциальных игр с последействием. В статье представлен подход конструктивного перенесения на системы с последействием всех результатов книги [KC]. Этот подход позволяет изложить теорию позиционных дифференциальных игр систем с последействием в такой же конструктивной и завершенной форме, как и для конечномерного случая в [КС]. Подход основан на методологии -гладкого анализа. Получаемые в рамках такого подхода результаты теории позиционных дифференциальных игр систем с последействием полностью аналогичны соответствующим результатам конечномерной теории Красовского-Субботина.

Although the foundations of the theory of positional differential games of systems with aftereffect described by functional differential equations (FDE) were developed back in the 1970s by N.N. Krasovsky, Yu.S. Osipov and A.V. Kryazhimsky, there are still no works that, similar to [N.N. Krasovsky, A.I. Subbotin. Positional Differential Games. Moscow: Nauka, 1974, 457 p.] (hereinafter referred to as [KS]), would represent a “complete” theory of positional differential games with aftereffect. The paper presents an approach to constructively transferring all the results of the book [KS] to systems with aftereffect. This approach allows us to present the theory of positional differential games of systems with aftereffect in the same constructive and complete form as for the finite-dimensional case in [KS]. The approach is based on the methodology of i -smooth analysis. The obtained results of the theory of positional differential games of systems with aftereffect are completely analogous to the corresponding results of the finite-dimensional Krasovsky-Subbotin theory.

В работе для задачи стабилизации ВИЧ модели проводится сравнительный анализ управлений, построенных на основе различных вариантов метода точных решений теории аналитического конструирования регуляторов для систем с последействием.

In the paper, for the problem of stabilizing an HIV model, a comparative analysis of controls designed on the basis of various variants of the method of explicit solutions from the theory of analytical construction of regulators for aftereffect systems is carried out.

В докладе обсуждается класс уравнений, включающих обыкновенные производные и инвариантные производные, и связанная с этим классификация типов дифференциальных уравнений.

The report discusses a class of equations including ordinary derivatives and invariant derivatives, as well as the related classification of differential equations.

Изучаются асимптотические свойства линейных систем с неограниченным запаздыванием. В частности, в случае линейного запаздывания система заменой аргумента сводится к системе с постоянным запаздыванием и с экспоненциальным множителем в правой части. Получены достаточные условия асимптотической устойчивости и неустойчивости для систем с постоянным коэффициентами. На основании полученных условий предложен алгоритм стабилизации этих систем, использующий как методы стабилизации систем без запаздывания, так и методы стабилизации разностных систем. Для некоторых систем с постоянным запаздыванием, содержащих в правой части экспоненциальный множитель и с переменными периодическими коэффициентами (периода T, равного запаздыванию) реализован схожий алгоритм стабилизации, состоящий в том, что производится стабилизация систем с "замороженными" коэффициентами и при этом существенно используются свойства малого параметра при производной.

The asymptotic properties of linear systems with unlimited delay are studied. Sufficient conditions for asymptotic stability and instability for systems with constant coefficients are obtained.

Рассмотрена задача динамического восстановления неизвестного возмущения в системе дробного порядка. Для ее решения использовался метод динамического обращения. В результате применения которого был предложен конечношаговый алгоритм построения аппроксимаций неизвестного внешнего воздействия в режиме онлайн, и установлена его сходимость.

Рассматривается супердиффузионное уравнение с дробными производными Рисса по пространству с несколькими переменными запаздываниями. Производится дискретизация задачи. По времени конструируется аналог разностного метода Кранка–Николсон с кусочно-линейной интерполяцией для учета эффекта переменного запаздывания и с экстраполяцией продолжением для того, чтобы неявность метода стала конечномерной. По пространству конструируется аналог компактной схемы со специальной заменой дробных производных Рисса дробными центральными разностями. В результате метод сводится к решению на каждом шаге времени системы линейных алгебраических уравнений с симметричной и положительно определенной главной матрицей. Изучается порядок малости относительно шагов дискретизации по времени ∆ и пространству h невязки метода без интерполяции и с интерполяцией, он равен O(∆^2 + h^4) . Основной результат состоит в доказательстве того, что метод сходится с порядком O(∆^2+h^4) в энергетической и компактной норме послойного вектора погрешности. Приводятся результаты тестовых примеров для супердиффузионных уравнений с постоянным и переменным запаздываниями. Вычислимые порядки сходимости по каждому шагу дискретизации в примерах оказались близки к теоретически полученным порядкам сходимости по соответствующим шагам дискретизации.

A superdiffusion equation with Riesz fractional derivatives with respect to space with several delay variables is considered. The problem is discretized. For this purpose, an analog of the Crank–Nicolson difference method with piecewise linear interpolation to account for the effect of variable delay and with extrapolation by continuation is constructed in time so that the implicitness of the method becomes finite-dimensional. An analog of a compact scheme with a special replacement of Riesz fractional derivatives by fractional central differences is constructed in space. As a result, the method is reduced to solving a system of linear algebraic equations with symmetric and positive-definite main matrix at each time step. The order of smallness with respect to the discretization time-steps ∆ and space-steps h of the residual of the method without interpolation and with interpolation is studied; it is equal to O(∆^2 + h^4) . The main result consists in proving that the method converges with the order O(∆^2 + h^4) in the energy and compact norm of the layered error vector. The results of test examples for superdiffusion equations with constant and variable delay are presented. The computable orders of convergence for each discretization step in the examples turned out to be close to the theoretically obtained orders of convergence for the corresponding discretization steps.

The problem of reconstructing an unknown input in a system of ordinary dierential equations of a special kind is investigated by means of the approach of the theory of dynamic inversion. The input action should be reconstructed synchronously with the process of incomplete discrete measuring of a part of coordinates of the phase trajectory. A nite-step software-oriented solution algorithm based on the method of auxiliary closed-loop models is proposed, and its error is estimated. The novelty of the paper is that we study the inverse problem for a partially observed system with a nonlinear with respect to input equation describing the dynamics of the unmeasured coordinate.

A description of the evolution of a spherical block model of the dynamics and seismicity of the lithosphere is given. The main focus is on the current version and the introduction of a constructive automatic calibration (parameter selection) procedure to obtain the best approximation of key properties of regional and/or global seismicity. The paper presents some results of computational experiments.

Приводится описание эволюции сферической блоковой модели динамики и сейсмичности литосферы. Основное внимание уделяется текущей версии и внедрению в нее конструктивной процедуры автоматической калибровки (подбора параметров) для получения наилучшей аппроксимации ключевых свойств региональной и/или глобальной сейсмичности. В работе представлены некоторые результаты вычислительных экспериментов.

Задачи реконструкции неизвестных внешних воздействий в квазилинейных стохастических дифференциальных уравнениях (СДУ) рассматриваются в различных информационных условиях с позиций подхода теории динамического обращения. Восстановление возмущений базируется на дискретной информации специального вида о некотором количестве реализаций случайного процесса. Каждая задача сводится к обратной задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), которой удовлетворяют математическое ожидание и ковариационная матрица исходного процесса. В докладе обсуждается специфика применения разрешающих алгоритмов для разных вариантов входных измерений, приводятся результаты сравнительного анализа трудоемкости реализации алгоритмов и их скоростей сходимости. Представлены модельные примеры, иллюстрирующие предложенные конструкции

Поскольку статистический анализ сейсмичности как пространственно-временной последовательности землетрясений на основе каталогов реальных событий затруднен ввиду короткой истории надежных наблюдений, роль адекватного моделирования чрезвычайно важна. В докладе описывается современное состояние сферической блоковой модели динамики и сейсмичности литосферы; основное внимание уделяется усовершенствованию конструктивной процедуры автоматической настройки модельных параметров с целью получения наилучшей аппроксимации ключевых свойств сейсмичности. Критерий качества базируется на минимизации взвешенной суммы отклонений модельных и реальных параметров. Основные численные процедуры, как внутренние для модели, так и оптимизационные, распараллелены, что существенно снижает затраты на получение ``большого'' каталога модельных событий. Степень согласования результатов моделирования с реальными данными позволяет надеяться на возможность эффективного практического применения сферической модели в экспертных системах мониторинга регионального и глобального сейсмического риска для выявления потенциально опасных регионов с целью их более тщательного анализа. Это направление развития модели представляется наиболее перспективным. В работе представлены промежуточные результаты вычислительных экспериментов.

Задача идентификации входа гибридной системы дифференциальных уравнений рассматривается с позиций подхода теории динамического обращения. Первое уравнение системы представляет собой квазилинейное стохастическое уравнение Ито, второе~--- линейное обыкновенное уравнение, содержащее неизвестное возмущение. Идентификация выполняется на основе дискретной информации о некотором количестве реализаций случайного процесса, являющегося решением первого уравнения. Задача сводится к обратной задаче для новой системы дифференциальных уравнений, включающей вместо стохастического уравнения обыкновенное уравнение, описывающее динамику математического ожидания исходного процесса. Разработан конечношаговый, программно-ориентированный разрешающий алгоритм, основанный на методе вспомогательных управляемых моделей; доказана его сходимость. Приведен пример, иллюстрирующий работу процедуры калибровки модельных параметров

Рассмотрена задача динамического восстановления неизвестного возмущения в системе дробного порядка. Для ее решения использовался метод динамического обращения. В результате применения которого был предложен конечно шаговый алгоритм построения аппроксимаций неизвестного внешнего воздействия равномерной метрике в режиме онлайн, и установлена его сходимость.

Рассматривается задача онлайн моделирования траектории нелинейной управляемой системы, описываемой дробными дифференциальными уравнениями с запаздыванием, по результатам ее неточных непрерывных наблюдений и при наличии неизвестного внешнего возмущения. Для решения задачи используется метод динамического обращения, сочетающий конструкции теории гарантированного управления и методы регуляризации некорректных задач. В частности используются метод экстремального прицеливания Н.Н. Красовского и метод регуляризации А.Н. Тихонова. Предложен конкретный алгоритм, решающий задачу онлайн моделирования траектории нелинейной системы дробных дифференциальных уравнений с запаздыванием, устойчивый к информационным помехам и погрешностям вычислений.

Исследуется задача моделирования решения нелинейной системы дифференциальных уравнений с постоянным запаздыванием при неточно известной правой части, а также неточно известном начальном состоянии. Рассмотрен случай, когда правая часть системы является не гладкой (известно лишь, что она измерима по Лебегу) и неограниченной (принадлежащей пространству функцией суммируемых с квадратом евклидовой нормы) функцией. Указывается устойчивых к информационным помехам и погрешностям вычислений алгоритм решения рассматриваемой системы. Алгоритм основан на конструкциях теории управления по принципу обратной связи. Установлена оценка скорости сходимости алгоритма. Отмечена возможность применения описанного в работе алгоритма для нахождения приближенного решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Для теоремы об асимптотической устойчивости линейной автономной системы дифференциальных уравнений с последействием рассмотрена задача обращения второго метода Ляпунова. Используются обобщенные решения, функциональные элементы которых принадлежат гильбертову пространству состояний. Проблема обращения ставится для дифференциального уравнения с неограниченным оператором в гильбертовом пространстве. В этом пространстве описание квадратичного функционала Ляпунова-Красовского сводится к задаче нахождения представления линейного непрерывного самосопряженного оператора. Она проще задачи непосредственного нахождения коэффициентов квадратичного функционала. Чтобы найти коэффициенты для представления оператора, порождающего функционал Ляпунова-Красовского, используется операторное уравнение Ляпунова. Ранее был предложен метод нахождения вполне непрерывных операторных решений для этого уравнения. В настоящей работе разработан метод нахождения ограниченных решений операторного уравнения Ляпунова. Он сводится к решению краевых задач для функционально-дифференциальных уравнений.

Рассматривается задача оптимальной импульсной стабилизации для автономной линейной системы дифференциальных уравнений с запаздыванием. Предлагается метод построения приближений для оптимального импульсного стабилизирующего управления.

Предложена методика решения нелинейной неинтегрируемой задачи управления движением манипуляционного робота

The problem of guaranteed closed-loop guidance to a given set at a given time is studied for a linear dynamic control system described by differential equations with a fractional derivative of the Caputo type. The initial state is a priori unknown, but belongs to a given finite set. The information on the position of the system is received online in the form of an observation signal. The solvability of the guidance problem for the control system is analyzed using the method of Osipov–Kryazhimskii program packages. The paper provides a brief overview of the results that develop the program package method and use it in guidance problems for various classes of systems. This method allows us to connect the solvability condition of the guaranteed closed-loop guidance problem for an original system with the solvability condition of the open-loop guidance problem for a special extended system. Following the technique of the program package method, a criterion for the solvability of the considered guidance problem is derived for a fractional-order system. In the case where the problem is solvable, a special procedure for constructing a guiding program package is given. The developed technique for analyzing the guaranteed closed-loop guidance problem and constructing a guiding control for an unknown initial state is illustrated by the example of a specific linear mechanical control system with a Caputo fractional derivative.

Для линейной управляемой динамической системы, описываемой дифференциальными уравнениями с дробной производной типа Капуто, рассмотрена задача гарантированного позиционного наведения на заданное множество в заданный момент времени. Начальное состояние априори неизвестно, но принадлежит конечному заданному множеству. Информация о положении системы поступает в режиме онлайн в виде сигнала наблюдения. Анализ разрешимости задачи наведения для рассматриваемой управляемой системы проводится с помощью метода пакетов программ Осипова — Кряжимского. В работе приведен краткий обзор результатов, в которых метод пакетов программ развивается или используется в задачах наведения для различных классов систем. Данный метод позволяет связать условие разрешимости задачи гарантированного позиционного наведения для исходной системы с условием разрешимости задачи программного наведения для специальной расширенной системы. Следуя технике метода пакетов программ, мы выводим критерий разрешимости поставленной задачи наведения для системы дробного порядка. В случае разрешимости задачи приводим специальную процедуру построения наводящего пакета программ. Разработанная техника анализа задачи гарантированного позиционного наведения и построения гарантирующего управления при неизвестном начальном состоянии системы иллюстрируется на примере конкретной линейной механической управляемой системы с дробной производной Капуто.

The problem of guaranteed closed-loop guidance to a given set at a given time is studied for a linear dynamical control system described by differential equations with a fractional derivative of the Caputo type. The initial state is a priori unknown, but belongs to a given finite set. The information on the position of the system is received online in the form of an observation signal. The solvability of the guidance problem for the control system is analyzed using the method of Osipov–Kryazhimskii program packages. The paper provides a brief overview of the results that develop the method of program packages and use it in guidance problems for various classes of systems. This method allows us to connect the solvability condition of the guaranteed closed-loop guidance problem for an original system with the solvability condition of the open-loop guidance problem for a special extended system. Following the technique of the method of program packages, a criterion for the solvability of the considered guidance problem is derived for a fractional-order system. In the case where the problem is solvable, a special procedure for constructing a guiding program package is given. The developed technique for analyzing the guaranteed closed-loop guidance problem and constructing a guiding control for an unknown initial state is illustrated by the example of a specific linear mechanical control system with a Caputo fractional derivative.

В работе рассматривается дискретная экономико-математическая модель управления запасами производственной системы. Динамика объекта управления – производственного предприятия, описывается линейным дискретным векторно-матричным рекуррентным уравнением при наличии фазового вектора и вектора управляющего воздействия (управления). Предполагается, что фазовый вектор и вектор управления модели производственной системы в каждый период времени ограничены выпуклыми многогранниками-компактами (с конечным числом вершин) в соответствующих конечномерных векторных пространствах. В рамках рассматриваемой экономико-математической модели формализуется многошаговая задача оптимального адаптивного управления запасами продукции и материалов производственной системы. Для исследуемой задачи предлагается методика ее решения, которая реализуется в виде конечной последовательности решений только одношаговых задач выпуклого математического программирования с выпуклой целевой функцией при наличии совместной системы линейных алгебраических уравнений и неравенств. На основании предлагаемой методики решения рассматриваемой задачи можно разрабатывать численные алгоритмы для создания интеллектуальных компьютерных систем поддержки принятия управленческих решений в раз- личных производственных, экономических и управленческих структурах

The paper considers a discrete-time economic and mathematical model of inventory management of a production system. The dynamics of the control object, a manufacturing enterprise, is described by a linear discrete-time vector-matrix recurrent equation in the presence of a phase vector and a control action (control) vector. It is assumed that the phase vector and control vector of the production system model in each time period are limited by convex compact polyhedrons (with a finite number of vertices in the corresponding finite-dimensional vector spaces. Within the framework of the economic-mathematical model under consideration, a multi-step problem of optimal adaptive management of inventories of products and materials of a production system is formalized. For the problem under study, a method for solving it is proposed, which is implemented in the form of a finite sequence of solutions to only one-step problems of convex mathematical programming with a convex objective function in the presence of a joint system of linear algebraic equations and inequalities. Based on the proposed methodology for solving the problem under consideration, it is possible to develop numerical algorithms for creating intelligent computer systems to support management decisions in various production, economic and management structures

В работе рассматривается линейная дискретная управляе- мая динамическая система с целевой функцией, оценивающей гарантиро- ванный (минимаксный) результат прогнозирования допустимых финаль- ных состояний фазового вектора объекта. Исследуется многошаговая за- дача оптимизации адаптивного управления прогнозированием финально- го состояния фазового вектора объекта системы относительно минимиза- ции выбранной целевой функции. Для ее решения предлагается методи- ка, реализуемая в виде только одношаговых операций, допускающих их алгоритмизацию. Полученные результаты могут быть использованы для разработки и создания систем автоматического управления подвижными техническими объектами и сложными экономическими системами

The paper considers a linear discrete-time controlled dynamical system with an objective function that evaluates the guaranteed (minimax) result of predicting the admissible final states of the object’s phase vector. A multi-step problem of optimization of adaptive control of predicting the final state of the phase vector of the system’s object relative to minimizing the selected objective function is investigated. To solve it, a technique is proposed that is implemented in the form of only one-step operations that allow their algorithmization. The results obtained can be used to develop and create automatic control systems for moving technical objects and complex economic systems.

The study describes the main structural components, elements and functions of an intelligent software system that models the project control processes of an economic entity. Numerical algorithms are based on a methodology for optimizing adaptive control of projects using network economic and mathematical modeling and the feedback principle, which makes it possible to take into account the incompleteness of information associated with the non-fulfillment or delay of specific project operations. The components under consideration involve the formation of a set of acceptable positions in the process of project control, as well as the implementation of feedback in the form of appropriate reactions of control actions to possible changes in situations during its implementation. Information support and technical and economic conditions for the implementation of a specific project are taken into account in the initial data of the components of the software system. The study presents a detailed description of the created components in the form of used objects, classes and other elements of object-oriented programming, which structures the data from the point of view of their controllability, allows to control the modeling process under consideration and organize software implementation. The intelligent software system developed by the authors is a tool for supporting control decisions when implementing practical projects in the field of economic management.

В исследовании описаны основные структурные компоненты, элементы и функции интеллектуальной программной системы, моделирующей процессы управления проектами экономического субъекта. В основу численных алгоритмов положена методология оптимизации адаптивного управления проектами с использованием сетевого экономико-математического моделирования и принципа обратной связи, позволяющего учитывать неполноту информации, связанную с невыполнением или задержкой конкретных операций проекта. Рассматриваемые компоненты предполагают формирование множества допустимых позиций в процессе управления проектом, а также реализацию обратной связи в виде соответствующих реакций управляющих воздействий на возможные изменения ситуаций в ходе его реализации. Информационное обеспечение и технико-экономические условия реализации конкретного проекта учитываются в исходных данных компонентов программной системы. В исследовании представлено подробное описание созданных компонент в виде используемых объектов, классов и других элементов объектно-ориентированного программирования, что структурирует данные с точки зрения их управляемости, позволяет управлять рассматриваемым процессом моделирования и организовывать программную реализацию. Разработанная авторами интеллектуальная программная система является инструментом поддержки принятия управляющих решений при реализации практических проектов в области управления экономикой.

The article discusses the problem of intelligent optimization of adaptive control of product output of a manufacturing enterprise. To simulate the dynamics of the process under consideration, a mathematical model has been developed in the form of a system of linear discrete-time recurrent equations. This model contains the phase vector of the controlled object (an enterprise), the vector of demand for the enterprise’s products and the vector of the control influence (control) of the control subject. During the control process, at each time period the control subject knows (measures) the phase vector of the controlled object. The quality of the control process is assessed by a convex objective function, the values of which are determined on the final phase states of the controlled object. This article proposes a mathematical formalization of the problem of intelligent optimization of adaptive terminal control of product output of an enterprise in the presence of a convex objective function. For the problem under study, a constructive method for solving it is given, which allows us to develop numerical algorithms for creating intelligent software systems and automating support for management decision-making by managers of manufacturing enterprises.

В статье рассматривается задача интеллектуальной оптимизации адаптивного управления выпуском продукции производственного предприятия. Для моделирования динамики рассматриваемого процесса разработана математическая модель в виде системы линейных дискретных рекуррентных уравнений. Данная модель содержит фазовый вектор объекта управления (предприятия), вектор спроса на продукцию предприятия и вектор управляющего воздействия (управления) субъекта управления. В процессе управления в каждый период времени субъект управления знает (измеряет) фазовый вектор объекта управления. Качество процесса управления оценивается выпуклой целевой функцией, значения которой определяются на конечных фазовых состояниях объекта управления. В данной статье предлагается математическая формализация задачи интеллектуальной оптимизации адаптивного терминального управления выпуском продукции предприятия при наличии выпуклой целевой функции. Для исследуемой задачи предлагается конструктивный метод ее решения, позволяющий разработать численные алгоритмы для создания интеллектуальных программных комплексов и автоматизации поддержки принятия управленческих решений менеджерами производственных предприятий.

Конструируется численный метод для дробного по состоянию уравнения диффузионного типа с производной Рисса порядка от 1 до 2. Уравнение осложнено несколькими эффектами переменного запаздывания. При дискретизации используются идеи метода Кранка-Николсон и дробной компактной схемы. Для аппроксимации дробной производной Рисса применяется метод центральных разностей. Для учета эффектов переменных запаздываний используется кусочно-линейная интерполяция и экстраполяция продолжением дискретной предыстории модели. На каждом временном шаге численный алгоритм сводится к решению линейной системы уравнений специального вида. Данная система однозначно разрешима. Анонсируется теорема, о том, что в энергетической норме погрешность численного метода имеет второй порядок малости по временному шагу разбиения и четвертый порядок по пространственному шагу разбиения.

A numerical method is constructed for a state-fractional diffusion-type equation with a Riesz derivative of order 1 to 2. The equation is complicated by several variable delay effects. The discretization uses the ideas of the Crank-Nicholson method and the fractional compact scheme. To approximate the Riesz fractional derivative, the central difference method is used. To take into account the effects of variable lags, piecewise linear interpolation and extrapolation by continuing the discrete history of the model are used. At each time step, the numerical algorithm is reduced to solving a linear system of equations of a special form. This system is uniquely solvable. A theorem is announced that in the energy norm the error of the numerical method is of the second order of smallness in terms of the time step of the partition and the fourth order in terms of the spatial step of the partition.

Рассматривается уравнение с дробными производными Рисса по пространству с функциональным эффектом запаздывания. При определенных предположениях обосновывается законность применения процедуры экстраполяции по Ричардсону и строится соответствующий метод.

An equation with Riesz fractional space derivatives and a functional delay effect is considered. Under certain assumptions, the legality of using the Richardson extrapolation procedure is substantiated and the corresponding method is constructed.

Рассматривается уравнение с дробными производными Рисса по пространству с функциональным эффектом запаздывания. Производится дискретизация задачи. Приводятся конструкции аналога разностного метода Кранка --- Николсон с кусочно-линейной интерполяцией и экстраполяцией продолжением, который имеет второй порядок малости относительно шагов дискретизации по времени $\Delta$ и пространству $h$. Конструируется базовый метод Кранка --- Николсон с кусочно-параболической интерполяцией и экстраполяцией продолжением. Изучается порядок невязки без интерполяции базового метода. Выписываются коэффициенты разложения невязки относительно $\Delta$ и $h$. Выводится уравнение для главного члена асимптотического разложения глобальной погрешности. При определенных предположениях обосновывается законность применения процедуры экстраполяции по Ричардсону, и строится соответствующий метод. Главное из этих предположений --- согласованность порядков малости $\Delta$ и $h$. Доказывается, что метод имеет порядок $O(\Delta^3+h^3)$.

An equation with Riesz fractional space derivatives and a functional delay effect is considered. The problem is discretized. Constructions of an analog of the Crank--Nicolson difference method with piecewise linear interpolation and extrapolation by continuation are presented. The method has the second order of smallness with respect to the time and space sampling steps $\Delta$ and $h$. The basic Crank--Nicolson method with piecewise parabolic interpolation and extrapolation by continuation is constructed. The order of the residual without interpolation of the basic method is studied. The expansion coefficients of the residual with respect to $\Delta$ and $h$ are written. An equation is derived for the main term of the asymptotic expansion of the global error. Under certain assumptions, the legality of using the Richardson extrapolation procedure is substantiated and the corresponding method is constructed. The main of these assumptions is the consistency of the orders of smallness $\Delta$ and $h$. It is proved that the method has order $O(\Delta^3+h^3)$.

A controlled system of differential equations under the action of an unknown disturbance is considered. The problem discussed in the paper consists in constructing algorithms for forming a control that provides the realization of a prescribed motion for any admissible disturbance. Namely these algorithms should provide the closeness in the metric of the space of differentiable functions of a phase trajectory of a given controlled system and some etalon trajectory of an analogous system functioning when any outer actions are absent. As the space of admissible disturbances, we take the space of measurable square integrable (with respect to the Euclidean norm) functions. The cases of inaccurate measurements of phase trajectories of both systems at all times and at discrete times are under study. Two computer oriented algorithms for solving the problem are designed. The algorithms are based on the (well-known in the theory of guaranteed control) method of extremal shift. In the process, its local (at each time of control correction) regularization is performed by the method of smoothing functional (the Tikhonov method). In addition, estimates for algorithm’s convergence rate are presented.

Исследуется задача отслеживания неизвестного негладкого по времени распределенного возмущения параболического включения, описывающего двухфазную задачу Стефана. Задача сводится к проблеме позиционного управления некоторой, подобранной подходящим образом, вспомогательной системой. Управление в последней, конструируемое по результатам неточных измерений решений заданного включения, а также вспомогательной системы, отслеживает в среднем квадратичном неизвестное возмущение. Указываются два алгоритма решения задачи, устойчивые к помехам и погрешностям вычислений. Алгоритмы основаны на соответствующей модификации известного в теории гарантированного управления принципа экстремального сдвига Н.Н. Красовского.

Рассматривается задача вычисления точек, а также величин разрывов управлений, действующих на систему, описываемую нелинейным векторным обыкновенным дифференциальным уравнением. Подобная задача хорошо известна в теории систем и относится к классу задач идентификации сбоев. В настоящей работе указывается регуляризирующий алгоритм, позволяющий синхронно с развитием процесса функционирования управляемой системы решать указанную задачу. Алгоритм основан на одном из методов управления по принципу обратной связи, который в литературе получил название “метод динамической регуляризации” и ранее активно применялся для решения задач онлайн восстановления негладких неизвестных возмущений. Описанный в данной работе алгоритм является устойчивым к информационным помехам и погрешностям вычислений.

Работа посвящена сравнительному анализу традиционного и электронного голосования. Определены основные проблемы, возникающие при внедрении электронного формата голосования, определенные Федеральным законом от 12.06.2002 N 67-ФЗ (ред. От 31.-7.2020) «Об основных гарантиях избирательных прав и права на участие в референдуме граждан Российской Федерации». На базе сформулированных критериев, следование которым свидетельствовало бы об улучшении решений и несоблюдение которых, на данный момент, является их слабой стороной. Сформулированы требования, которые предъявляются к любой системе голосования. Предложен вариант обхода существующих недостатков разрабатываемых и внедряемых систем электронного голосования.

Рассматривается вырожденная задача стабилизации линейной автономной системы дифференциальных уравнений с последействием и импульсными управлениями. Для ее регуляризации используется невырожденный критерий качества переходных процессов, близкий к вырожденному. Применяется преобразование регуляризованной задачи стабилизации для импульсных управлений к вспомогательной невырожденной задаче оптимальной стабилизации для не импульсных управлений, содержащих последействие. При решении вспомогательной задачи используется принцип динамического программирования Беллмана. При нахождении определяющей системы уравнений для коэффициентов квадратичного функционала Беллмана применяется постановка задачи оптимальной стабилизации в функциональных пространствах состояний и управлений. Получено представление для импульса оптимального стабилизирующего управления. Сложная задача нахождения решения определяющей системы уравнений для функционала Беллмана заменяется задачей нахождения решения определяющей системы уравнений для коэффициентов представления оптимального стабилизирующего управления. Последняя задача имеет меньшую размерность. Найдена асимптотическая зависимость оптимального стабилизирующего управления от параметра регуляризации, когда размерность вектора управления совпадает с размерностью вектора состояний.

A degenerate problem of stabilization of a linear autonomous system of differential equations with aftereffect and impulse controls is considered. For its regularization, a non-degenerate criterion for the quality of transient processes is used, which is close to a degenerate one. The regularized stabilization problem for impulse controls is replacыed by an auxiliary non-degenerate optimal stabilization problem for non-impulse controls containing aftereffect. Bellman’s dynamic programming principle is used to solve the auxiliary problem. When finding the governing system of equations for the coefficients of the quadratic Bellman functional, the formulation of the optimal stabilization problem in the functional spaces of states and controls is used. A representation is obtained for the pulse of the optimal stabilizing control. The difficult problem of finding a solution to the governing system of equations for the Bellman functional is replaced by the problem of finding a solution to the governing system of equations for the coefficients of the representation of the optimal stabilizing control. The latter problem has lower dimension. The asymptotic dependence of the optimal stabilizing control on the regularization parameter is found when the dimension of the control vector coincides with the dimension of the state vector.

We study the problem of active reduction of the influence of a disturbance on the output of a linear controlled system. The problem is studied on a finite time interval. We consider a system of linear differential equations under the action of an unknown disturbance and a control. The problem consists in constructing an algorithm for forming a control that reduces the disturbance on the basis of inaccurate measurements of a part of phase coordinates of the system. This algorithm should form a feedback control such that the trajectory of the given system influenced by an unknown disturbance tracks the trajectory of the reference system. The latter system is described by the same differential equations but with zero control and disturbance. We present two algorithms for solving this problem. These algorithms are robust with respect to informational noises and computational errors.

A dynamical reconstruction problem for a system described by a coupled ordinary differential equation—heat equation is considered. The problem consists in reconstructing an unknown varying in time right-hand part of this system on the basis of inaccurate measurements of its solution. A dynamical algorithm for solving this problem is designed. An estimate for convergence rate is presented. The algorithm is stable with respect to informational noises and computational errors. It is based on the combination of the feedback control method and the method of smoothing functional well-known in the theory of ill-posed problems. The algorithm suggested in the paper is applied to solve tracking control problems. Results of a numerical experiment are discussed.

The problem of reconstructing an unknown disturbance in a system of ordinary differential equations of a special kind is investigated on the basis of the approach of the theory of dynamic inversion. A statement is considered in which the disturbance is reconstructed synchronously with the process from incomplete discrete information on a part of coordinates of the phase trajectory. A finite-step software-oriented solution algorithm based on the method of auxiliary closed-loop models is proposed, and its error is estimated. The novelty of the paper is that we consider the inverse problem for a partially observed system with a nonlinear with respect to disturbance equation describing the dynamics of the unmeasured coordinate.

Быстродействие является важным требованием при разработке алгоритмов управления манипулятором. Нелинейность моделей значительно осложняет применение принципа максимума. В настоящей работе предлагается метод построения релейных управлений с плавным приходом схвата в конечную точку.

Рассматривается некоторый класс систем дифференциальных уравнений «нейтрального» типа, содержащих линейное запаздывание γ(t) = (1-μ)t, которое неограниченно возрастает при t → ∞. При малом положительном ц исследуется асимптотическое поведение этих систем. На основании изученных свойств таких систем возможна стабилизация по первому приближению некоторых систем, содержащих также постоянное малое запаздывание. Приведены некоторые способы исследования на устойчивость этих систем. Изучена устойчивость некоторых систем нейтрального типа путем перехода от этих систем к счетным системам с запаздыванием без нейтральных членов. При дальнейшем исследовании используются методы малого параметра при производной, а также применяются методы исследования разностных систем. Методы могут использоваться для исследования процесса вертикальных колебаний токоприемника при взаимодействии с контактным проводом в случае наличия эластичной опоры в месте закрепления контактного провода. При рассмотрении проблемы устойчивости систем вводится банахово пространство, в котором исследуются некоторые свойства операторов сдвига. Поскольку дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом интегрируются в замкнутой форме только в исключительных случаях, для их интегрирования применяются численные методы. Построены графики соответствующего примера, иллюстрирующие влияние малости величины μ на асимптотические свойства систем нейтрального типа с линейным запаздыванием. Эти графики численного решения рассматриваемой системы получены с помощью пакета прикладных программ Matlab. Они показывают асимптотическую устойчивость и неустойчивость этой системы, как с нейтральными членами, так и без них.

We cosider a certain class of systems of differential equations of “neutral” type containing linear delay γ(t) = (1-μ)t , which increases indefinitely when t → ∞. For a small positive μ the asymptotic behavior of these systems is investigated. Based on the studied properties of such systems, a method of stabilization of first approximation systems containing also a constant small delay is proposed. Some methods of research of stability of these systems are given. The stability of some neutral-type systems has been studied by transition from these systems to counting systems with a delay without neutral terms. In further research, the methods of a small parameter with a derivative as well methods of studying difference systems are also used. The methods can be used to study the process of vertical oscillations of a current collector when interacting with a contact wire in the case of an elastic support at the point of fixation of the contact wire. When considering the problem of stability of systems, a Banach space is introduced, in which some properties of shift operators are investigated. Since differential equations with a deviating argument are integrated in a closed form only in exceptional cases, numerical methods are used to integrate them. Graphs of the corresponding example illustrating the effect of the value μ on the asymptotic properties of neutral-type systems with linear delay are constructed. These graphs of the numerical solution of the system under consideration are obtained using the Matlab application software package. They show the asymptotic stability and instability of this system, both with and without neutral terms.

Приводится краткое описание текущей версии сферической блоковой модели динамики и сейсмичности литосферы. Основное внимание уделяется возможностям учета влияния случайных факторов на процесс моделирования и внедрению конструктивной процедуры автоматической калибровки модели (подбора ее параметров) для получения наилучшей аппроксимации ключевых свойств региональной и/или глобальной сейсмичности. Обсуждаются результаты вычислительных экспериментов.

Рассмотрена задача гарантированного управления нелинейным распределённым уравнением диффузионного типа, суть которой состоит в построении алгоритма формирования управления по принципу обратной связи, обеспечивающего отслеживание решением заданного уравнения решение другого аналогичного уравнения, которое подвержено влиянию неизвестного возмущения. Изучен случай, когда допустимым возмущением может быть разрывная неограниченная функция. Задача решена в условиях неточного измерения в дискретные моменты времени решений каждого из уравнений, при этом указан устойчивый к информационным помехам и погрешностям вычислений алгоритм решения.

Рассматривается задача онлайн идентификации неконтролируемого внешнего возмущения (помехи) в системе дифференциальных уравнений с дробной производной Капуто на бесконечном временном горизонте. Информация о позиции системы доступна для измерений только во время ее функционирования, и только часть координат фазового вектора может быть измерена. Случай измерения всех координат так- же рассмотрен. Измерения проводятся в дискретные достаточно частые моменты времени с некоторой погрешностью. Поэтому задача нахождения неизвестного возмущения является некорректной. Для ее решения строится адаптивный алгоритм онлайн идентификации с использованием подхода динамического обращения. Этот подход основан на сочетании методов регуляризации и конструкций из теории позици- онного управления. В частности мы используем метод регуляризации Тихонова со сглаживающим функционалом специального вида и метод экстремального прицеливания Красовского. В основе алгоритма лежит выбор подходящей вспомогательной управляемой системы и закон управления в ней по принципу обратной связи. Предложенный алгоритм дает аппроксимацию внешнего возмущения и устойчив к информационным помехам и погрешности вычислений. Рассмотрен модельный пример, демонстрирующий применение разработанной методики.

The problem of estimating (reconstructing) an unknown input for a system of nonlinear dierential equations with the Caputo fractional derivative is considered. Information on the position of the system is available for observations and only a part of system's parameters can be measured. The case of measuring all phase coordinates is also presented. The measurements are continuous and the data obtained in them are noisy. The considered problem is ill-posed and, to solve it, we use the method of dynamic inversion. It is based on regularization methods and constructions of positional control theory. In particular, we use the Tikhonov regularization method also known as the smoothing functional method and the Krasovskii extremal aiming method. The approach to estimating an unknown input implies introducing an auxiliary system (a model) with an appropriate rule of forming a control.The proposed estimation algorithm gives approximations of an unknown input and is stable under informational noises and computational errors. As an example illustrating the elaborated technique, a biological model of human immunodeciency virus disease is used for simulation. The simulation results demonstrate the importance of the approach to on-line estimating unobservable parameters in real processes.

In this paper, we discuss the analysis and the numerical solution of the time-space fractional Schnakenberg reaction-diffusion model with a fixed time delay. This model is a natural system of autocatalysis, which often occurs in a variety of biological systems. The numerical solutions are obtained by constructing an efficient numerical algorithm to approximate Riesz-space and Caputo-time fractional derivatives. More precisely, the L1 approximation is applied to discretize the temporal Caputo fractional derivative, while the Legendre-Galerkin spectral method is used to approximate the spatial fractional operator. The described method is shown to be unconditionally stable, with a 2 − β convergent order in time and an exponential rate of convergence in space in case of the smoothness of the solution. The error estimates for the obtained solution are derived by applying a proper discrete fractional Gronwall inequality. Moreover, we offer numerical simulations that demonstrate a close match with the theoretical study to evaluate the efficacy of our methodology.

В этой статье мы обсуждаем анализ и численное решение дробной пространственно-временной задачи Шнакенберга модель реакции-диффузии с фиксированной временной задержкой. Эта модель представляет собой естественную систему автокатализа, которая часто встречается в различных биологических системах. Численные решения получены путем построения эффективного численного алгоритма аппроксимации дробных производных в пространстве Рисса и времени Капуто. Точнее, L1 аппроксимация применяется для дискретизации временной дробной производной Капуто, а аппроксимация Лежандра-Галеркина спектральный метод используется для аппроксимации пространственного дробного оператора. Показано, что описанный метод безусловно устойчив, имеет 2 - β-порядок сходимости во времени и экспоненциальную скорость сходимости в пространстве в случае гладкости решения. Оценки погрешности полученного решения получены путем применения соответствующего дискретное дробное неравенство Гронуолла. Более того, мы предлагаем численное моделирование, которое демонстрирует близкое соответствие с теоретическим исследованием для оценки эффективности нашей методологии.

В данной статье рассматривается общая линейная дискретная управляемая динамическая система при наличии фазового вектора объекта (процесса) моделирования, управляющего воздействия (управления) субъекта управления и возмущения (погрешности моделирования, помехи, рисков и т.п.). Предполагается, что динамика объекта управления описывается общим линейным дискретным векторно-матричным рекуррентным уравнением. Реализации фазового вектора, вектора управления и вектора возмущения стеснены заданными геометрическими ограничениями, описываемыми соответствующими совместными конечными системами линейных алгебраических уравнений и неравенств. Рассматривается задача детерминированной апостериорной идентификации элементов действительных матриц, описывающих динамику объекта управления. Для решения исследуемой задачи предлагается новый комбинированный адаптивный итерационный метод, который реализуется в виде конечной последовательности процедур, допускающих их алгоритмизацию.

В работе представлено описание структуры и возможностей Интеллектуального компьютерного программного комплекса (ИКПК) "Прогнозирование и оптимизация управления - PredOptCont-2023" (разработчики: Шориков А.Ф. - модели и алгоритмы; Тюлюкин В.А. - программный код) для реализации компьютерного моделирования решения задач прогнозирования и оптимизации управления в линейных дискретных управляемых динамических системах.

В работе рассматривается линейная дискретная управляемая динамическая система с целевой функцией, оценивающей гарантированный (минимаксный) результат прогнозирования допустимых состояний фазового вектора системы. Исследуется многошаговая задача оптимизации программного управления прогнозированием состояния фазового вектора системы в финальный период времени при выбранной целевой функции. Для ее решения предлагается методика, реализуемая в виде только одношаговых операций, допускающих их алгоритмизацию. Полученные результаты иллюстрируются на модельных примерах и могут быть использованы для разработки и создания систем автоматического управления динамическими объектами.

In this paper, we examine and provide numerical solutions to the nonlinear fractional order time-space diffusion equations with the influence of temporal delay. An effective high-order numerical scheme that mixes the so-called Alikhanov L2 − 1σ formula side by side to the power of the Galerkin method is presented. Specifically, the time-fractional component is estimated using the uniform L2−1σ difference formula, while the spatial fractional operator is approximated using the Legendre-Galerkin spectral approximation. In addition, Taylor’s approximations are used to discretize the term of the nonlinear source function. It has been shown theoretically that the suggested scheme’s numerical solution is unconditionally stable, with a second-order time-convergence and a space-convergent order of exponential rate. Furthermore, a suitable discrete fractional Gronwall inequality is then utilized ¨ to quantify error estimates for the derived solution. Finally, we provide a numerical test that closely matches the theoretical investigation to assess the efficacy of the suggested method.

For a space-fractional diffusion equation with a nonlinear subdiffusion coefficient and with the presence of a delay effect, the grid numerical method is constructed. To take into account the functional delay, interpolation and extrapolation procedures are used. At each time step, the algorithm reduces to solving a linear system with a main matrix that has diagonal dominance. The convergence of the method in the maximum norm is proved. The results of numerical experiments with constant and variable delays are presented.

Within the framework of the key approach from the theory of dynamic inversion, input reconstruction problems for stochastic differential equations are investigated. Different types of input information are used for the simultaneous reconstruction of disturbances in both the deterministic and stochastic terms of the equations. Feasible solving algorithms are designed; estimates of their convergence rates are derived. An empirical procedure adapting an algorithm to a specific system’s dynamics to obtain best approximation results is discussed. An illustrative example for this technique is presented.

В работе обсуждается задача гарантированного управления системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Задача состоит в построении такого закона формирования управляющего воздействия системой дифференциальных уравнений, содержащей возмущение, которое обеспечивает отслеживание решением этой системы решение другой системы. Задача исследуется в условиях неточного измерения решений систем как в каждый момент времени их функционирования, так и в дискретные моменты времени. В работе приведено два алгоритма решения задачи и указаны оценки их скорости сходимости. Алгоритмы основаны на подходе к исследованию задач управления по принципу обратной связи, развиваемого екатеринбурской школой.

We consider the guaranteed control problem for a system of ordinary differential equations under conditions of inaccurate measurement of solutions. We propose two algorithms for solving the problem and obtain estimates for their convergence rate.

A diffusion equation with a functional delay effect is considered. The problem is discretized. Constructions of the Crank–Nicolson difference method with piecewise linear interpolation and extrapolation by continuation are given; the method here has the second order of smallness with respect to the sampling steps in time ∆ and space h. The basic Crank–Nicolson method with piecewise cubic interpolation and extrapolation by continuation is constructed. The order of the residual without interpolation of the base method is studied, and the expansion coefficients of the residual with respect to ∆ and h are written. An equation for the leading term of the asymptotic expansion of the global error is written. Under certain assumptions, the validity of the application of the Richardson extrapolation procedure is substantiated and an appropriate method is constructed. The main of these assumptions is the consistency of the orders of smallness of ∆ and h. It is proved that the method has order O(∆^4 + h^4). The results of numerical experiments on test examples are presented.

Рассматривается диффузионное уравнение с функциональным эффектом запаздывания. Производится дискретизация задачи. Приводятся конструкции разностного метода Кранка — Николсон с кусочно-линейной интерполяцией и экстраполяцией продолжением, который имеет второй порядок малости относительно шагов дискретизации по времени ∆ и пространству h. Конструируется базовый метод Кранка—Николсон с кусочно-кубической интерполяцией и экстраполяцией продолжением. Изучается порядок невязки без интерполяции базового метода и выписываются коэффициенты разложения невязки относительно ∆ и h. Выписывается уравнение для главного члена асимптотического разложения глобальной погрешности. При определенных предположениях обосновывается законность применения процедуры экстраполяции по Ричардсону, и строится соответствующий метод. Главное из этих предположений — согласованность порядков малости ∆ и h. Доказывается, что метод имеет порядок O(∆^4 + h^4). Приводятся результаты численных экспериментов на тестовых примерах.

A diffusion equation with a functional delay effect is considered. The problem is discretized. Constructions of the Crank–Nicolson difference method with piecewise linear interpolation and extrapolation by continuation are given; the method here has the second order of smallness with respect to the sampling steps in time ∆ and space h. The basic Crank–Nicolson method with piecewise cubic interpolation and extrapolation by continuation is constructed. The order of the residual without interpolation of the base method is studied, and the expansion coefficients of the residual with respect to ∆ and h are written. An equation for the leading term of the asymptotic expansion of the global error is written. Under certain assumptions, the validity of the application of the Richardson extrapolation procedure is substantiated and an appropriate method is constructed. The main of these assumptions is the consistency of the orders of smallness of ∆ and h. It is proved that the method has order O(∆^4 + h^4). The results of numerical experiments on test examples are presented.

Sufficient conditions for the asymptotic stability of linear systems of differential equations with linear delay are obtained. On the basis of these conditions, some systems of linear differential equations are studied, and one of them is stabilized on an infinite time interval.

Получены достаточные условия асимптотической устойчивости линейных систем дифференциальных уравнений, содержащих линейное запаздывание. На основании этих условий исследованы некоторые системы линейных дифференциальных уравнений, при этом для одной из них проведена стабилизация на бесконечном промежутке времени.

We consider the stabilization problem for systems of linear differential equations containing delay that is linearly dependent on the argument (time). Stabilization methods for certain systems with constant coefficients in the right-hand side are proposed. Due to the fact that the delay increases indefinitely in time, the stabilization is considered over an infinite time interval. The numerical examples illustrating the effectiveness of the stabilization methods are presented.

Рассматривается задача стабилизации систем линейных дифференциальных уравнений, содержащих запаздывание, линейно зависящее от аргумента (времени). В работе получены методы стабилизации некоторых систем с постоянными коэффициентами в правой части. Ввиду того, что запаздывание с течением времени неограниченно возрастает, стабилизация рассматривается на бесконечном промежутке времени.

We consider the stabilization problem for systems of linear differential equations containing delay that is linearly dependent on the argument (time). Stabilization methods for certain systems with constant coefficients in the right-hand side are proposed. Due to the fact that the delay increases indefinitely in time, the stabilization is considered over an infinite time interval. The numerical examples illustrating the effectiveness of the stabilization methods are presented.

Рассматриваются возможности применения некоторых модифицированных численных методов для уравнений с запаздыванием, линейно зависящим от времени (аргумента). Поскольку запаздывание неограниченно возрастает, требуется применять также некоторые асимптотические методы при анализе поведения решения таких систем. В статье будут установлены асимптотические свойства исследуемых систем, существенно влияющих на точность численного подсчета. Именно, ввиду неограниченности запаздывания, в случае неустойчивости решения систем с запаздыванием для выяснения свойств решения подобных систем полезно знать асимптотические свойства производных, имеющих порядок больше единицы. Зачастую (при условиях, сформулированных в статье) данные производные стремятся к нулю при неограниченном увеличении времени. Это свойство позволяет достаточно эффективно применять некоторые численные методы конечного порядка (метод Рунге-Кутты, модифицированный метод Эйлера с пересчетом и т.д.). В качестве иллюстрации эффективности разработанных методов в статье будет показано применение некоторых модифицированных методов численного счета для изучения процесса вертикальных колебаний полоза токоприемника, движущегося с постоянной скоростью локомотива при взаимодействии с контактным проводом при наличии эластичного закрепления на опоре. Численные методы, изложенные в статье, позволяют исследовать асимптотическое поведение и более сложных систем, содержащих как постоянное, так и линейное запаздывание. Отметим, что применение численных методов для подсчета решения зачастую позволяет выявить не только неустойчивость решения исследуемых систем, но и может быть использовано при стабилизации некоторых систем, содержащих неограниченное (не обязательно линейное) запаздывание.

The article considers the possibility of applying some modified numerical methods for solving differential equations with delay which linearly depends on time (argument). Since the delay increases indefinitely, it is also necessary to apply some asymptotic methods in analyzing the behavior of the solution of such systems. The paper establishes the asymptotic properties of the systems under study, which significantly affect the accuracy of numerical calculation. Namely, in view of the unbounded delay, in the case of instability of the solution of systems, in order to clarify the properties of the solution of such systems, it is useful to know the asymptotic properties of derivatives having an order greater than one. Often (under the conditions formulated in the article) these derivatives tend to zero as t→∞. This property makes it possible to apply quite effectively some finite-order numerical methods (the Runge-Kutta method, the modified Euler method with recalculation, etc.). As an illustration of the effectiveness of the developed methods, the article will show the use of some modified methods of numerical calculation to study the process of vertical oscillations of the pantograph skid of a locomotive moving at a constant speed when interacting with a contact wire in the presence of elastic fastening on a support. The numerical methods presented in the article allow one to study the asymptotic behavior of more complex systems containing both constant and linear delay. Note that the use of numerical methods for calculating the solution often makes it possible to reveal not only the instability of the solution of the systems under study, but can also be used to stabilize some systems containing an unlimited (not necessarily linear) delay.

When solving the problem of optimal performance for manipulative robots, the scientific team headed by F. L. Chernousko actively uses the Pontryagin maximum principle. The application of the maximum principle is complicated by the nonlinearitiesof controlled systems of manipulation robots. Therefore, when using it, the original mathematical model is replaced with a simpler one. These substitutions made it possible to analytically solve the problems of finding the switching points of relay controls for individual models of manipulation robots. In this paper, when finding the switching moments of relay controls for a manipulating robot, the original nonlinear controlled system is used. The problem is reduced to the problem of the existence of a solution to the boundary value problem for a controlled nonlinear system in the selected class of permissible controls that guarantee the arrival of the manipulator in the final position with zero speeds.

При решении задачи оптимального быстродействия для манипуляционных роботов в научном коллективе, возглавляемом Ф. Л. Черноусько, активно используется принцип максимума Понтрягина. Применение принципа максимума усложняется нелинейностями управляемых систем манипуляционных роботов. Поэтому при его использовании исходную математическую модель заменяют на более простую. Эти замены позволили аналитически решить задачи нахождения моментов переключения релейных управлений для отдельных моделей манипуляционных роботов. В настоящей работе при нахождении моментов переключения релейных управлений для манипуляционного робота используется исходная нелинейная управляемая система. Поставленная задача сводится к проблеме существования решения краевой задачи для управляемой нелинейной системы в выбранном классе допустимых управлений, гарантирующих приход манипулятора в конечное положение с нулевыми скоростями.

Рассматривается задача динамической реконструкции граничного неизвестного входного воздействия для нелинейной системы дифференциальных уравнений с распределенными параметрами типа реакции–диффузии. Представлен алгоритм ее решения, который основан на конструкциях теории управления с обратной связью.

Обсуждается задача управления по принципу обратной связи нелинейной по фазовым переменным системой обыкновенных дифференциальных уравнений, подверженной влиянию неизвестного негладкого возмущения. Суть задачи состоит в построении закона формирования управляющего воздействия, гарантирующего компенсацию негладкого возмущения, а именно гарантирующего отслеживание фазовой траекторией (а также скоростью ее изменения) заданной системы, предписанной фазовой траектории (а также скорости ее изменения) при любой допустимой реализации возмущения. Рассмотрены два случая. В первом случае допустимые возмущения стеснены мгновенными ограничениями, а во втором допустимым возмущением может быть всякая функция, являющаяся элементом пространства измеримых по Лебегу функций, суммируемых с квадратом евклидовой нормы. Задача решается в условиях неточного измерения в дискретные моменты времени фазовых состояний обеих систем. При наличии мгновенных ограничений на возмущения задача решается также и при измерении части фазовых состояний. Сконструированы устойчивые к информационным помехам и погрешностям вычислений алгоритмы решения указанной задачи, ориентированные на компьютерную реализацию. Приводятся оценки скорости сходимости алгоритмов.

Рассматривается задача управления по принципу обратной связи нелинейным распределенным уравнением с памятью. В предположении, что уравнение подвержено влиянию неизвестного динамического возмущения указывается алгоритм ее решения, который основан на конструкциях теории позиционных дифференциальных игр.

We consider the problem of dynamical reconstruction of input disturbances in a system of differential equations subject to the influence of an unknown disturbance. We present two algorithms for solving the problem that are robust to information noises and computational errors and are oriented to computer implementation. The algorithms operate under measurements (with errors) of phase states of the system at discrete times.