Отдел алгоритмической топологии был создан в 1999 году по инициативе академика Н.Н. Красовского, директора института академика А.Ф. Сидорова и его заместителя В.И. Бердышева. Отдел вместе с кафедрой компьютерной топологии и алгебры и лабораторией алгоритмической геометрии Челябинского государственного университета составил единый учебно-научный комплекс. Руководит отделом академик РАН С.В. Матвеев.
Основная тематика отдела — маломерная топология. Основное направление исследований отдела — разработка алгоритмических аспектов топологии трехмерных многообразий, в том числе теории узлов. Это включает как теоретическое изучение алгоритмической разрешимости различных геометрических проблем, так и разработку и компьютерную реализацию эффективных практических алгоритмов, в том числе алгоритмов распознавания. Основными инструментами исследования служат теория сложности трехмерных многообразий и теория преобразований специальных сплайнов, построенные С.В. Матвеевым. Сотрудники отдела разрабатывают эффективные алгоритмы перечисления и распознавания трехмерных многообразий, исследуют инварианты многообразий и узлов.
Наиболее значимые результаты, полученные в отделе:
Доказана теорема об алгоритмической распознаваемости достаточно больших трехмерных многообразий, что полностью завершает решение известной проблемы трехмерной топологии (С.В. Матвеев). Одним из следствий этой теоремы является существование алгоритмической классификации узлов.
Разработан эффективный алгоритм практического распознавания трехмерных многообразий, который по любому поданному на вход заданию трехмерного многообразия выдает его имя и основную характеризующую его информацию. Этот алгоритм был реализован на компьютере. В разработке и отладке соответствующего пакета программ (названного «Распознаватель многообразий») приняли участие все сотрудники отдела, но основная часть была выполнена к.ф.-м.н. В.В. Таркаевым. Этот пакет является уникальным и весьма полезным инструментом изучения многообразий и интенсивно используется как сотрудниками отдела, так и их российскими и зарубежными коллегами. С помощью «Распознавателя» были классифицированы и табулированы все замкнутые ориентируемые трехмерные многообразия до сложности 13 включительно, что по состоянию на начало 2016 года является мировым рекордом (С.В. Матвеев, В.В. Таркаев). Д.ф.-м.н. Е.А. Фоминых совместно с В.В. Таркаевым и членом-корреспондентом А.Ю. Весниным (ИМ СО РАН) достигли существенных продвижений в теории сложности, построив новые бесконечные серии трехмерных многообразий, сложность которых удается вычислить точно.
В последнее время развивается взаимодействие маломерной топологии с математической физикой, возрастает интерес к квантовой топологии. С 2014 года эта тематика стала в отделе одной из главных благодаря получению мегагранта правительства РФ, созданию лаборатории квантовой топологии и приезду ее руководителя д.ф.-м.н. В.Г. Тураева. В этом направлении отдел тесно сотрудничает с учеными Института математики им. С.Л. Соболева Сибирского отделения РАН, Математического института им. В.А. Стеклова РАН и его Санкт-Петербургского отделения, а также Механико-математического факультета МГУ.
