Given an automorphism $x$ of order bigger than $2$ of a sporadic simple group $S$, we show that there are at most $3$ conjugates of $x$ required to generate a subgroup of order divisible by a fixed prime divisor $r$ of $|S|$. The only exception is the case where $S=Suz$, $x$ is in class $3A$, $r=11$, and then the required number of generators is $4$.

The spectrum of a finite group G is the set of all element orders of G. The Gruenberg—Kegel graph (or the prime graph) Γ(G) of a finite group G is defined as follows. The vertex set of Γ(G) is the set of all prime divisors of the order of G. Two distinct primes p and q are adjacent in Γ(G) if and only if there exists an element of order pq in G. We say that the problem of recognition by Gruenberg–Kegel graph (by spectrum, respectively) is solved for a finite group if the number of pairwise non-isomorphic finite groups with the same Gruenberg–Kegel graph (spectrum, respectively) as the group under study is known. In 2005, A. V. Vasil’ev completed solving the problem of recognition by spectrum for all finite nonabelian simple groups with orders having prime divisors at most 13. In this paper we complete the solution of the problem of recognition by Gruenberg–Kegel graph for these groups.

Спектр конечной группы G — это множество всех порядков элементов группы G. Граф Грюнберга—Кегеля (или граф простых чисел) Γ(G) конечной группы G определяется следующим образом. Множество вершин Γ(G) — это множество всех простых делителей порядка группы G. Два различных простых числа p и q смежны в Γ(G) тогда и только тогда, когда в G существует элемент порядка pq. Мы говорим, что задача распознавания по графу Грюнберга–Кегеля (соответственно, по спектру) решена для конечной группы, если известно число попарно неизоморфных конечных групп с тем же графом Грюнберга–Кегеля (соответственно, спектром), что и у изучаемой группы. В 2005 году А. В. Васильев завершил решение задачи распознавания по спектру для всех конечных неабелевых простых групп с порядками, имеющими простые делители, не превосходящие 13. В данной работе завершается решение задачи распознавания по графу Грюнберга–Кегеля для этих групп.

Исследуются вопросы, связанные с точным и приближённым соблюдением ограничений в задачах о достижимости. Рассматриваются конструкции на основе множеств притяжения; последние играют роль аналогов областей достижимости в условиях реализации ограничений "на грани фола". Для построения этих множеств привлекаются расширения исходного пространства управлений, реализуемые в надлежащем классе мер, конечно-аддитивных или счётно-аддитивных в зависимости от особенностей задачи. Тем самым реализуется погружение множества обычных (доступных для непосредственной реализации) управлений в компакт. Элементы последнего--- обобщённые управления--- используются в задаче о достижимости с точным соблюдением ограничений, а получающаяся в результате область достижимости (в классе обобщённых управлений=мер) реализует искомое множество притяжения. В связи с вопросом о построении корректных расширений излагаются основные понятия общей топологии и элементы теории меры, включая общие свойства конечно-аддитивных мер и интегралов по таким мерам.

Let Γ be a distance-regular graph of diameter 3, and letθ1be its second eigenvalue. The graphΓ is called a Shilla graph ifθ1=a3. In this case,θ1= (a1+qa21+ 4k)/2, anda=a3dividesk. We setb=b(Γ) =k/a. J.H. Koolen and J. Park found the intersection arrays of Shilla graphs withb≤3. J. Cai,I. N. Belousov, and A.A. Makhnev enumerated the intersection arrays of Shilla graphs withb= 4. H. Li,I. N. Belousov, and A.A. Makhnev found the intersection arrays of Shilla graphs withb= 5. In this paper, weenumerate the intersection arrays of Shilla graphs withb= 6.

В работе исследуются $D_\pi$-группы с единичным разрешимым радикалом, не имеющие неединичных нормальных $\pi$-подгрупп, в которых все простые неабелевы факторы их субнормального ряда являются простыми спорадическими группами. Доказано, что в таких группах для любой ; -холловой подгруппы H существует элемент g такой, что H\cap H^g=1 . Тем самым решен вопрос 20.123 (с) Коуровской тетради и при указанных условиях дан положительный ответ на вопрос 18.31.

We give a construction of a new family of Deza graphs of girth at least 5 that possess an arc- transitive group of automorphisms isomorphic to a Suzuki simple group Sz(q). To study their combinatorical properties, we elaborate some group-theoretic arguments involving classical results on the groups of given type.

This paper concerns pseudo-classical knots in the non-orientable manifold ˆ Σ = Σ × [0,1], where Σ is a non-orientable surface and a knot K ⊂ ˆ Σ is called pseudo-classical if K is orientation-preserving path in ˆ Σ. For this kind of knot we introduce an invariant ∆ that is an analogue of Turaev comultiplication for knots in a thickened orientable surface. As its classical prototype, ∆ takes value in a polynomial algebra generated by homotopy classes of non-contractible loops on Σ, however, as a ground ring we use some subring of C instead of Z. Then we define a few homotopy, homology and polynomial invariants, which are consequences of ∆, including an analogue of the affine index polynomial. Keywords: knots in non-orientable manifold, knots in thickened surface, invariants of knot

Работа посвящена псевдоклассическим узлам в неориентируемом многообразии ˆ Σ = Σ×[0,1], где Σ это неориентируемая поверхность, и узел K ⊂ ˆ Σ называется псевдоклассическим, если K является сохраняющим ориентацию путём в ˆ Σ. Для таких узлов мы определяем инвариант ∆, который является аналогом копроизведения Тураева для узлов в утолщённой ориентируемой поверхности. Как и его классический прототип, ∆ принимает значения в полиномиальной алгебре, порождаемой гомотопическими классами нестягиваемых петель на поверхности Σ, однако в качестве кольца коэффициентов вместо Z мы используем некоторое другое подкольцо поля комплексных чисел. Затем мы определяем несколько гомотопических, гомологических и полиномиальных инвариантов, являющихся следствиями ∆, включая аналог аффинного индексного полинома.

Рассмотрен вопрос о совпадении графов простых чисел почти простой группы с цоколем $F_4(q)$ и конечной простой неабелевой группы лиева типа или исключительного лиева типа.

Рассмотрены конечные группы с графом простых чисел как у конечной простой группы лиева типа или знакопеременной группы, имеющие спорадический композиционный фактор, изоморфный $J_2$, $McL$ или $HS$.

Исследуется свойство Бэра (бэровость) пространства K1(X,M) отображений первого функционального класса Лебега, где M  компакт. Изучается класс компактных про- странств, для которых бэровость пространства K1(X, {0, 1}) эквивалентна бэровости про- странстваK1(X,M) для любогоM из этого класса. Доказывается, что данный класс содер- жит π-монолитные компакты. В частности, получено необходимое и достаточное условие для пространства X, при котором пространство K1(X,G) является бэровским для любой компактной топологической группы G.

Статья посвящена построению вихревой группы зацепления. Эта группа является корректно определённым инвариантов для ориентированных зацеплений в трёхмерной сфере. Описывается, как каждой диаграмме зацепления на двумерной сфере сопоставляется группа, заданная своими образующими и соотношениями: в качестве образующих выступают как перекрёстки диаграммы, так и ещё два дополнительных формальных символа, а области, на которые диаграмма разбивает двумерную сферу, играют роль соотношений. Доказывается, что группы, сопоставленные различным диаграммам одного и того же зацепления, изоморфны. Редуцированная вихревая группа получается из вихревой группы тривиализацией двух конкретных образующих. Доказывается, что эта группа допускает сбалансированное копредставление. Конструкция редуцированной вихревой группы близка к одному из определений полинома Александера зацепления. Доказывается, что, порядок абелианизированной редуцированной вихревой группы совпадает с определителем зацепления.

В работе строится модулярная категория E, содержащая ровно два простых объекта. С помощью специальной техники из неё извлекаются два инварианта: комплексно значный инвариант типа Решетихина - Тураева rt_e неориентированных зацеплений в трёхмерной сфере и трёхмерных многообразий, и вещественно значный инвариант типа Тураева - Виро tv_e трёхмерных многообразий. Значения этих двух инвариантов трёхмерных многообразий связаны соотношением |rt_e|^2 * (e + 2) = tv_e$, где e --- корень уравнения e^2 = e + 1. Доказывается, что инвариант tv_e в точности совпадает с эпсилон-инвариантом трёхмерных многообразий.

A k-regular graph on v vertices is a divisible design graph if there exist integers such that the vertex set can be partitioned into m classes of size n and any two different vertices from the same class have common neighbours, and any two vertices from different classes have common neighbours. This paper presents two prolific constructions that produce infinite series of divisible design graphs. The first construction develops ideas of W.D. Wallis, D.G. Fon-Der-Flaass, and M. Muzychuk which were created to construct new strongly regular graphs.

Группа G подстановок конечного множества Ω покомпонентно действует на декартовом квадрате Ω^2. Наибольшая подгруппа в Sym(Ω), имеющая на Ω^2 те же орбиты, что и сама G, называется 2-замыканием группы G. Рангом группы G называется число ее орбит на Ω^2. Если ранг группы G равен 3, а порядок четен, то с точностью до взятия дополнения определен неориентированный граф с множеством вершин Ω, у которого в качестве множества ребер берется одна из двух недиагональных орбит группы G на Ω^2. Такой граф называется графом ранга 3. Полная группа автоморфизмов этого графа совпадает с 2-замыканием группы G и содержит G в качестве подгруппы. На данный момент за исключением случая, когда G — почти простая группа, имеется явное описание 2-замыканий групп G ранга 3. В данной работе мы восполняем имеющийся пробел, тем самым завершая и описание полных групп автоморфизмов графов ранга 3.

В работе исследуются свойство Бэра и свойство Шоке для пространства K1(X, Y ) - первого функционального класса Лебега отображений, где X - тихоновское пространство, а Y ∈ {R, [0, 1], {0, 1}}. Доказано, что пространство B1(X, [0, 1]) - [0, 1]-значных отображений Бэра первого класса является пространством Шоке (бэровское) тогда и только тогда, когда пространство K1(X, {0, 1}) является пространством Шоке (бэровское). Полученные исследования позволяют достаточно просто решить вопрос В. Ткачука о совпадении свойств псевдокомпактности и псевдополноты в пространстве Cp(X, [0, 1]).

A topological space X is Baire if the intersection of any sequence of open dense subsets of X is dense in X. We establish that the property (k) for a Tychonoff space X is equivalent to Baireness of B1(X) and, hence, the Banakh property for Cp(X) is equivalent to meagerness of B1(X). Thus, we obtain one characteristic of the Banakh property for Cp(X) through the property of the space X.

We give a characterization of the Δ1-property of any Tychonoff space Xin terms of the function space B1(X)of all Baire-one real-valued functions on a space Xwith the topology of pointwise convergence. We establish that for a Tychonoff space X the Δ1-property is equivalent to the Choquet property of B1(X). Also we construct under ZFCan example of a separable pseudocompact space Xsuch that Cp(X) is κ-Fréchet-Urysohn but Xfails to be a Δ1-space. This answers a question of Kakol-Leiderman-Tkachuk.

A space is called Dieudonné complete if it is complete relative to the maximal uniform structure compatible with its topology. In this paper, we investigated when the function space of all continuous functions from a topological space X into a uniform space Y with the topology of uniform convergence on a family of subsets of X is Dieudonné complete. Also we proved a generalization of the Eberlein–Šmulian theorem to the class of Banach spaces.

A topological space Xis Baireif the Baire Category Theorem holds for X, i.e., the intersection of any sequence of open dense subsets of X is dense in X. In this paper, we have obtained that the space Bst1(X)of pointwise stabilizing Baire-one functions is Baire if the space B1(X) of Baire-one functions is so. This answers a question posed recently by T. Banakh and S. Gabriyelyan.

Топологическое пространство обладает свойством Бэра, если пересечение счетного числа открытых всюду плотных подмножеств пространства X является всюду плотным подмножеством в X. Одна из интересных задач в теории функциональных пространств – это характеризация свойства Бэра функционального пространства через топологическое свойство носителя функций. В данной работе решается эта задача для пространства Bα(X,{0,1}) – индикаторных бэровских функций класса α, где 1⩽α⩽ω1. А именно, получен критерий свойства Бэра пространства Bα(X,{0,1}) через топологическое свойство тихоновского пространства X. Результат отвечает на вопрос Т. Банаха и С. Габриеляна в классе пространств индикаторных бэровских функций.

We study the Frechet–Urysohn property of the space Qp(X,R) of real-valued quasicontinuous functions defined on a Hausdorff space X, endowed with the pointwise convergence topology. Under Suslin’s hypothesis, it is proved that for an open Whyburn space X, the space Qp(X,R) is Fréchet–Urysohn if and only if X is countable. In particular, this is true in the class of first-countable regular spaces X. In ZFC, it is proved that for a metrizable space X, the space Qp(X,R) is Frechet–Urysohn if and only if X is countable.

Our purpose in this paper is twofold. (a) We discuss the computational problem of deciding whether a given graph is the commuting graph of a finite group; we give a quasipolynomial algorithm, and a polynomial algorithm for the case when the group is an extraspecial p-group for p an odd prime. (b) We give new results on the question of whether the commuting graph of a given group is a cograph or a chordal graph, two classes of graphs defined by forbidden subgraphs. The problems are not unrelated, since there are a number of cases where hard computational problems on graphs are easier when restricted to special classes of graphs; we conjecture that the recognition problem is polynomial for cographs and chordal graphs.

Эта статья о XV школе-конференции по теории групп, посвященной 95-летию со дня рождения М. И. Каргаполова. Приведены сведения о жизни и научной деятельности М. И. Каргаполова, обзор основных событий школы-конференции и список открытых проблем, сформулированных участниками, с комментариями к этим проблемам.

This paper is about the XV school-conference on group theory dedicated to the 95th Birthday of M. I. Kargapolov. The paper contains biographical information about M. I. Kargapolov, a survey of principal events held at the school-conference and the list of open problems posed by the participants with comments to these problems.

Подгруппа H группы G называется пронормальной, если для любого элемента g \in G подгруппы H и H^g сопряжены в подгруппе . Известно, что значительная часть конечных простых групп обладает свойством (*): любая подгруппа нечетного индекса пронормальна в группе. К настоящему времени конечные простые группы со свойством (*), за исключением простых линейных и унитарных групп с некоторыми ограничениями на естественные арифметические параметры, классифицированы. В 2024 г. была начата классификация простых линейных и унитарных групп, в которых все подгруппы нечетных индексов пронормальны. План состоит в нахождении источников всех возможных примеров непронормальных подгрупп нечетных индексов, а затем в доказательстве того, что других примеров нет. В 2024 г. найдены серии примеров непронормальных подгрупп нечетных индексов в конечных простых линейных и унитарных группах над полем нечетной характеристики. В настоящей работе строится новая серия примеров непронормальных подгрупп нечетных индексов в конечных простых линейных и унитарных группах над полем нечетной характеристики.

A subgroup H of a group G is said to be pronormal if, for every element g \in G, the subgroups H and H^g are conjugate in the subgroup . It is known that a substantial portion of finite simple groups possesses property (*): every subgroup of odd index is pronormal in the group. To date, finite simple groups with property (*) have been classified, except for finite simple linear and unitary groups subject to certain restrictions on their natural arithmetic parameters. In 2024, a classification was initiated for finite simple linear and unitary groups in which all subgroups of odd index are pronormal. The plan is to identify all possible sources of nonpronormal subgroups of odd index and then prove that there are no other such examples. In 2024, series of examples of nonpronormal subgroups of odd index were found in finite simple linear and unitary groups over fields of odd characteristic. In the present paper, we construct a new series of examples of nonpronormal subgroups of odd index in finite simple linear and unitary groups over a field of odd characteristic.

In a previous paper, the authors determined the parameters of all strongly regular graphs that can be decomposed into a divisible design graph and a Hoffman coclique. As a counterpart of this result, in the present paper we determine the parameters of all strongly regular graphs that can be decomposed into a divisible design graph and a Delsarte clique. In particular, an infinite family of strongly regular graphs with the required decomposition and a new infinite family of divisible design graphs are found.

В предыдущей статье авторы определили параметры всех сильно регулярных графов, которые можно разложить на делимый схемный граф и коклику Хоффмана. В качестве аналога этого результата в настоящей статье мы определяем параметры всех сильно регулярных графов, которые можно разложить на делимый схемный граф и клику Дельсарта. В частности, найдено бесконечное семейство сильно регулярных графов с требуемым разложением и новое бесконечное семейство делимых схемных графов.

Статья посвящена светлой памяти выдающего российского ученого-тополога Евгения Георгиевича Пыткеева (1947–2022), блестящего специалиста в области функционального анализа и теории множеств. Евгений Георгиевич был ярким представителем Уральской топологической школы, основанной профессором Николаем Васильевичем Величко в 70-е годы прошлого века. Закончив обучение в 1972 г. на математико-механическом факультете Уральского государственного университета им. А. М. Горького, Е. Г. Пыткеев стал одним из первых учеников Н.В. Величко и внес значительный вклад в развитие теоретико-множественной топологии и теорию функций. В данной работе приводятся краткие факты из научной биографии Е. Г. Пыткеева, обсуждаются результаты его научных исследований, его научные идеи и методы, а также их перспективы в современной науке. Отдельно отмечена педагогическая и издательская деятельность Евгения Георгиевича и его заметный вклад в становление школьного олимпиадного движения на Урале.

A topological space X is Baire if the Baire Category Theorem holds for X, i.e., the intersection of any sequence of open dense subsets of X is dense in X. One of the interesting problems for the space B1(X) of all Baire-one real-valued functions is the Banakh–Gabriyelyan problem of characterization of a topological space X for which the function space B1(X) is Baire. In this paper, we solve this problem, namely, we obtain a characterizationwhen B1(X) is Baire for a topological space X.Alsowe prove that B1(X) is Baire for any γ -space X and obtain a characterization of a topological space X for which B1(X) is a Choquet space. This answers questions posed recently by Taras Banakh and Saak Gabriyelyan. We also conclude that it is consistent with ZFC that there is no uncountable separable metrizable space X such that B1(X) is countable dense homogeneous.

В данной работе найдены возможные автоморфизмы гипотетического дистанционно регулярного графа с массивом пересечений {44,30,9;1,5,36}.

В данной работе найдены возможные автоморфизмы гипотетического дистанционно регулярного графа с массивом пересечений {44,40,12;1,5,33}.

Дистанционно регулярные графы с массивами пересечений {44,36,5;1,9,40}, {44,36, 12;1,33}, {44,42,5;1,7,40} не существуют.

В данной работе найдены массивы пересечений AT4(p,q,r)-графов с q ≤ 4 и параметры отвечающих им сильно регулярных графов.

В работе изучаются дистанционно регулярные графы Γ диаметра 3, имеющие сильнорегулярный граф Γ3 с µ =1 или µ=2.

Дистанционно регулярный граф с массивом пересечений {(c+1)(p+1),cp,c+2;1,c,(c+1)p} не существует.

Дистанционно регулярный граф Γ диаметра 3 с сильно регулярными гра- фами Γ2 и Γ3 имеет массив пересечений {r(c2 +1)+a3, rc2, a3 +1; 1, c2, r(c2 +1)} (М. С. Нирова). Для дистанционно регулярного графа Γ диаметра 3 и степени 44 имеется 7 допустимых массивов пересечений. Для каждого из них граф Γ3 сильно регулярен. Для массива пересечений {44,30, 5;1,3,40} имеем a3 = 4, c2 = 3, r = 10, Γ2 имеет пара- метры (540, 440, 358, 360) и Γ3 имеет параметры (540, 55, 10, 5). Граф не существует (Кулен–Пак). Для массива пересечений {44, 35, 3; 1, 5, 42} граф Γ3 имеет параметры (375, 22, 5, 1). Граф не существует (окрестность вершины – объединение изолирован- ных 6-клик). В работе доказано, что дистанционно регулярные графы с массивами пересечений {44, 36, 5; 1, 9, 40}, {44, 36, 12; 1, 3, 33} и {44, 42, 5; 1, 7, 40} не существуют.

Пусть 𝛤 – дистанционно регулярный граф диаметра 𝑑 ≥ 3 и 𝜃0 > 𝜃1 > ⋯ > 𝜃𝑑 – собственные значения 𝛤. Тогда выполняется фундаментальная граница �𝜃1 + 𝑘 𝑎1+1 𝑏+ =−1− 𝑏1 ��𝜃𝑑 + 𝑘 1+𝜃𝑑 , 𝑏- = −1− 𝑏1 � ≥− 𝑘𝑎1𝑏1 𝑎1+1 . . Положим (𝑎1+1)2 1 +𝜃1 Недвудольный граф, для которого достигается равенство в фундаментальной границе, называется плотным. Граф является плотным тогда и только тогда, когда окрестность любой вершины в нем сильно регулярна с собственными значениями 𝑎1,𝑝 = 𝑏+,−𝑞 = 𝑏-. В этом случае все параметры 𝛤 выражаются через 𝑝,𝑞,𝑟 и мы назовем 𝛤 антиподальным плотным графом диаметра 4 с параметрами 𝑝,𝑞,𝑟 (𝐴𝑇4(𝑝,𝑞,𝑟)-графом). В 𝐴𝑇4(𝑞 − 2,𝑞,𝑟)-графе 𝛤 для любой вершины 𝑢 ∈ 𝛤 подграф 𝛤2(𝑢) является дистанционно регулярным графом диаметра 4 с массивом пересечений {(𝑞 −2)𝑞2,(𝑞 −1)3,(𝑟 − 1)𝑞(2𝑞 −2) 𝑟 ⁄ ,1;1,𝑞(2𝑞 −2) 𝑟 ⁄ ,(𝑞 −1)3,(𝑞 −2)𝑞2}. В работе рассмотрены графы с 𝑞=5 и массивами пересечений {144,125,32,1;1,8,125,144}, {204,175,48,1;1,12,175,204}.

Дистанционно регулярный граф Γ диаметра 3 с сильно регулярными графами Γ2 и Γ3 имеет массив пересечений {r(c2+1)+a3, r c2, a3 + 1; 1, c2, r(c2 + 1)} (М.С. Нирова). Для дистанци-онно регулярного графа Γ диаметра 3 и степени 44 имеется точно 7 допустимых массивов пересе-чений. Для каждого из них граф Γ3 сильно регулярен. Для массива пересечений {44, 30, 5; 1, 3, 40} имеем a3 = 4, c2 = 3, r = 10, Γ2 имеет параметры (540,440,358,360) и Γ3 имеет параметры (540,55,10,5). Граф не существует (Кулен-Пак). Для массива пересечений {44, 35, 3; 1, 5, 42} имеем a3 = 2, c2 = 5, r = 7, Γ3 имеет параметры (375,22,5,1) и не существует (его окрестность вершины является объединением изолированных 6-клик). В этой статье найдены возможные автоморфизмы графов с массивами пересечений {44,40,12; 1,5,33} и {48,35,9; 1,7,40}.

Для множества $X$ автоморфизмов графа $\Gamma$ через ${\rm Fix}(X)$ обозначается подмножество всех вершин графа $\Gamma$, неподвижных относительно любого автоморфизма из $X$. Имеется ровно $7$ допустимых массивов пересечений дистанционно регулярных графов диаметра $3$ и степени $44$. Ранее было доказано, что для пяти из них графы не существуют. В данной работе найдены возможные автоморфизмы гипотетического дистанционно регулярного графа с массивом пересечений $\{44,30,9;1,5,36\}$. Доказательство теоремы опирается на метод Хигмена работы с автоморфизмами дистанционно регулярного графа. Cледствием основного результата является следующее: пусть $\Gamma$ — дистанционно регулярный граф, имеющий массив пересечений $\{44,30,9;1,5,36\}$, и группа $G={\rm Aut}(\Gamma)$ действует транзитивно на вершинах графа $\Gamma$; тогда $G$ действует интранзитивно на дугах графа $\Gamma$.

В работе строится семейство представлений группы кос Bn. Векторные пространства, на которых действует группа кос, задаются как результат отождествления пространств, порожденных правильными раскрасками регулярных деревьев степени 3 с одной отмеченной вершиной. Это отождествление осуществляется с помощью семейства канонических изоморфизмов. Размерности получающихся пространств составляют последовательность чисел Фибоначчи. Далее показывается, как построенные представления могут быть продолжены до инвариантов неориентированных узлов и зацеплений в трехмерной сфере.

Рассмотрены тройные пересечения холловых π-подгрупп конечных Dπ-групп с единичным разрешимым радикалом, все простые неабелевы секции которой являются либо спорадическими, либо знакопеременными группами.

В работе начато изучение графов Шилла Γ с b2 = c2, имеющих небольшое по модулю собственное значение \theta_2. Положим a = a3, c = c2, p = p3 33 = b−1. Если \theta_2 = 0, то c = bs, a = (b+1)s и Γ имеет массив пересечений {b(b + 1)s,(bs + s +1)(b −1),bs;1,bs,(b2 − 1)s}.

Изучены графы Г, содержащие локально регулярный 1-код, для которых Г_3 является сильно регулярным графом, а также графы Шилла, содержащие 1-код.

В работе приводится обзор некоторых известных конструкций равноугольных жестких фреймов, применяющих такие объекты алгебраической комбинаторики как сильно регулярные графы, дистанционно-регулярные накрытия полных графов, системы Штейнера и разностные множества, и рассматривается ряд смежных вопросов, касающихся существования таких фреймов и ассоциированных с ними объектов.

We investigate abelian (in the sense of Godsil and Hensel) distance-regular covers of complete graphs with the following property: there is a vertex-transitive group of automorphisms of the cover which possesses at most two orbits in the induced action on its arc set. We focus on covers whose parameters belong to some known infinite series of feasible parameters. We also complete the classification of arc-transitive covers with a non-solvable automorphism group and show that the automorphism group of any unknown edge-transitive cover induces a one-dimensional affine permutation group on the set of its antipodal classes.

We prove a prime decomposition theorem for string links in a thickened surface. Namely, we prove that any non-braid string link l ⊂ Σ × I, where Σ is a compact orientable (not necessarily closed) surface other than S2, can be written in the form l = l1# ··· #lm, where lj , j = 1, . . . , m, is prime string link defined up to braid equivalence, and the decomposition is unique up to possibly permuting the order of factors in its right-hand side.

We study pseudo-classical knots in the non-orientable thickening of a non-orientable surface, specifically knots that are orientationpreserving paths in a non-orientable 3-manifold of the form (non-orientable surface) × [0, 1]. For these knots, we propose an analog of the Kauffman bracket polynomial. The construction of this polynomial closely mirrors the classical version, with key differences in the definitions of the sign of a crossing and the positive/negative smoothing of a crossing. We prove that this polynomial is an isotopy invariant of pseudo-classical knots and demonstrate that it is independent of the classical Kauffman bracket polynomial for knots in the thickened orientable surface, which is the orientable double cover of the non-orientable surface under consideration.

We consider antipodal graphs Γ of diameter 4 for which Γ1,2 is a strongly regular graph. A.A. Makhnev and D.V. Paduchikh noticed that, in this case, ∆ = Γ3,4 is a strongly regular graph without triangles. It is known that in the cases µ = µ(∆) ∈ {2, 4, 6} there are infinite series of admissible parameters of strongly regular graphs with k(∆) = µ(r + 1) + r2, where r and s = −(µ + r) are nonprincipal eigenvalues of ∆. This paper studies graphs with µ(∆) = 4 and 6. In these cases, Γ has intersection arrays {r2 + 4r + 3, r2 + 4r, 4, 1; 1, 4, r2 + 4r, r2 + 4r + 3} and {r2 + 6r + 5, r2 + 6r, 6, 1; 1, 6, r2 + 6r, r2 + 6r + 5}, respectively. It is proved that graphs with such intersection arrays do not exist.

Описаны графы конечных групп $G$ с условием $GK(G)=GK(H)$, где $H$ является знакопеременной группой или конечной простой группой лиева типа над полем порядка $q=p^f$, где $p$ -- простое число, $f\in\mathbb{N}$; $S$ -- спорадический композиционный фактор группы $G$, изоморфный одной из групп $J_2$, $HS$ или $McL$.

Описаны спорадические композиционные факторы S конечных групп G с условиями GK(G) = GK(H) и \pi(G) = \pi(S), где H -- простая знакопеременная группа или простая группа лиева типа. Описаны конечные группы с графом Грюнберга--Кегеля как у конечной простой группы, у которых множество простых делителей ее порядка отличается на одно простое число от простых делителей ее спорадического фактора, изоморфного $J_2$. Описаны конечные группы с графом Грюнберга--Кегеля как у конечной простой группы, у которых множество простых делителей ее порядка отличается на одно простое число от простых делителей ее спорадического фактора, изоморфного $HS$ или $McL$.

Пусть G -- конечная группа, \pi(G) -- множество всех простых делителей ее порядка, \omega(G) -- множество всех порядков ее элементов (ее спектр). Графом простых чисел (или графом Грюнберга -- Кегеля) конечной группы G называется граф GK(G), в котором вершинами служат простые делители порядка группы G и две различные вершины p и q смежны тогда и только тогда,когда G содержит элемент порядка pq. Графы простых чисел простых неабелевых групп известны. Одним из популярных направлений исследований в теории конечных групп является изучение групп по свойствам их графов простых чисел. Мы исследуем неабелевы композиционные факторы конечных групп с графом простых чисел как у известной простой группы. В 2011 г. А.М.Старолетов изучил конечные группы, имеющие спектр как у конечной простой группы и спорадический композиционный фактор. Обобщая этот результат, мы рассматриваем в статье вопрос о том, может ли композиционный фактор конечной группы с графом простых чисел как у конечной простой группы быть изоморфным спорадической группе. Показано, что конечная группа с графом простых чисел как у простой исключительной группы лиева типа, отличной от G_2(q) и {^3}D_4(q), или как у простых классических групп L_n(q), U_n(q), O_{2n+1}(q), S_{2n}(q) для достаточно большого n не имеет спорадических композиционных факторов, отличных от F_1. Кроме того, описаны спорадические композиционные факторы S конечных групп G с условиями GK(G) = GK(H) и \pi(G) = \pi(S), где H -- простая знакопеременная группа или простая группа лиева типа.

If G is a finite group, then the spectrum \omega(G) is the set of all element orders of G. The prime spectrum \pi(G) is the set of all primes belonging to \omega(G). A simple graph \Gamma(G) whose vertex set is \pi(G) and in which two distinct vertices r and s are adjacent if and only if pq \in \omega(G) is called the Gruenberg–Kegel graph or the prime graph of G. In this paper, we prove that if G is a group of even order, then the set of vertices which are non-adjacent to 2 in \Gamma(G) forms a union of cliques. Moreover, we decide when a strongly regular graph is isomorphic to the Gruenberg–Kegel graph of a finite group.

A subgroup H of a group G is pronormal if, for each g in G, the subgroups H and H^g are conjugate in . Most of finite simple groups possess the following property (*): each subgroup of odd index is pronormal in the group. The conjecture that all finite simple groups possess the property (*) was established in 2012 in a paper by E. P. Vdovin and the third author based on the analysis of the proof that Hall subgroups are pronormal in finite simple groups. However, the conjecture was disproved in 2016 by A. S. Kondrat’ev together with the second and third authors. In a series of papers by Kondrat’ev and the authors published from 2015 to 2020, the finite simple groups with the property (*) except finite simple linear and unitary groups with some constraints on natural arithmetic parameters were classified. In this paper we construct series of examples of nonpronormal subgroups of odd indices in finite simple linear and unitary groups over a field of odd characteristic, thereby making a step towards completing the classification of finite simple groups with the property (*).

Подгруппа H группы G называется пронормальной, если для любого элемента g из G подгруппы H и H^g сопряжены в подгруппе . Известно, что значительная часть конечных простых групп обладает свойством (∗): любая подгруппа нечетного индекса пронормальна в группе. Гипотеза о том, что свойством (∗) обладает любая конечная простая группа, была выдвинута в 2012 г. в работе Е.П. Вдовина и третьего автора на основании анализа доказательства пронормальности всех холловых подгрупп в конечных простых группах. Однако эта гипотеза была опровергнута в 2016 г. в работе А.С. Кондратьева, второго и третьего авторов. В серии работ А.С. Кондратьева и авторов 2015-2020 гг. конечные простые группы со свойством (∗), за исключением простых линейных и унитарных групп с некоторыми ограничениями на естественные арифметические параметры, классифицированы. В настоящей работе строятся серии примеров непронормальных подгрупп нечетных индексов в конечных простых линейных и унитарных группах над полем нечетной характеристики и тем самым делается шаг на пути завершения классификации конечных простых групп со свойством (∗).

A subgroup H of a group G is pronormal if, for each g in G, the subgroups H and H^g are conjugate in . Most of finite simple groups possess the following property (∗): each subgroup of odd index is pronormal in the group. The conjecture that all finite simple groups possess the property (∗) was established in 2012 in a paper by E. P. Vdovin and the third author based on the analysis of the proof that Hall subgroups are pronormal in finite simple groups. However, the conjecture was disproved in 2016 by A. S. Kondrat’ev together with the second and third authors. In a series of papers by Kondrat’ev and the authors published from 2015 to 2020, the finite simple groups with the property (∗) except finite simple linear and unitary groups with some constraints on natural arithmetic parameters were classified. In this paper we construct series of examples of nonpronormal subgroups of odd indices in finite simple linear and unitary groups over a field of odd characteristic, thereby making a step towards completing the classification of finite simple groups with the property (∗).

A review of the main events of the 2023 Ural Workshop on Group Theory and Combinatorics, held online during the period 21 to 27 August 2023, is presented, and a list of open problems with comments is given. Open problems were formulated by the participants at the Open Problems Session held on August 27, 2023.

В статье представлен обзор основных событий Международной конференции “2023 Ural Workshop on Group Theory and Combinatorics”, которая прошла в онлайн формате 21–27 августа 2023 г. Также в статье представлен список открытых проблем, сформулированных участниками на Часе открытых проблем, прошедшем 27 августа 2023 г., и комментарии к этим проблемам.

A space Xis sequentially separableif there is a countable S⊂Xsuch that every point of Xis the limit of a sequence of points from S. In 2004, N.V. Velichko defined and investigated concepts close to sequential separability: σ-separabilityand F-separability. The aim of this paper is to study σ-separability and F-separability (and their hereditary variants) of the space Cp(X)of all real-valued continuous functions, defined on a Tychonoff space X, endowed with the pointwise convergence topology. In particular, we proved that σ-separability coincides with sequential separability. Hereditary variants (hereditarily σ-separabilityand hereditarily F-separability) co-incide withFréchet–Urysohn property in the class of cosmic spaces.

It is consistent that the continuum be arbitrary large and no absolute -Borel set X of density , @1 <  < c, condenses onto a compactum. It is consistent that the continuum be arbitrary large and any absolute -Borel set X of density ,   c, containing a closed subspace of the Baire space of weight , condenses onto a compactum. In particular, applying Brian’s results in model theory, we get the following unexpected result. Given any A  N with 1 2 A, there is a forcing extension in which every absolute @n-Borel set, containing a closed subspace of the Baire space of weight @n, condenses onto a compactum if and only if n 2 A.

A topological space Xis called almost discrete, if it has precisely one nonisolated point. In this paper, we get that for a countable product X=Xiof almost discrete spaces Xithe space Cp(X)of all continuous real-valued functions with the topology of pointwise convergence is a μ-space if, and only if, Xis a weak q-space if, and only if, t(X) =ωif, and only if, Xis functionally generated by the family of all its countable subspaces. This result makes it possible to solve Archangel’skii’s problem on the product of Grothendieck spaces. It is proved that in the model of ZFC, obtained by adding one Cohen real, there are Grothendieck spaces Xand Ysuch that X×Yis not weakly Grothendieck space. In (PFA): the product of any countable family almost discrete Grothendieck spaces is a Grothendieck space.

Correction to: Semigroup Forum (2023) 107:718–731 https://doi.org/10.1007/s00233-023-10400-y

Рассматриваются топологические пространства «евклидовы ежи», представляющие собой подпространства евклидовых пространств Rn, обладающие следующим свойством: вместе с каждой своей точкой они содержат весь отрезок, соединяющий данную точку с точкой начала координат. Доказано, что для каждого n ⩾2 существует 2 2 ℵ 0 попарно негомеоморфных евклидовых ежей в R n . Также доказано, что для каждого счетного евклидова ежа существует гомеоморфный ему плоский ёж. Также рассматривается два топологических пространства: квазиметрический ёж и фактор-ёж, у которых находятся следующие кардинальные и наследственные инварианты: вес, характер, плотность, спред, экстент, клеточность, теснота, число открытых множеств и число Линделёфа. Наконец, рассматриваются секвенциальные ежи, которые топологически вкладываются в функциональные пространства. Приводятся критерии топологического вложения секвенциальных ежей в пространство непрерывных функций и в пространство бэровских функций.

In [5] we studied spaces with a Lusin π-base and π-spaces and posed the following question: Does the class of continuous open images of spaces with a Lusin π-base equal the class of continuous open images of π-spaces? We give a negative answer to this question.

In 2022, the second author found a prolific construction of strongly regular graphs, which is based on joining a coclique and a divisible design graph with certain parameters. The construction produces strongly regular graphs with the same parameters as the complement of the symplectic graph Sp(2d, q). In this paper, we determine the parameters of strongly regular graphs which admit a decomposition into a divisible design graph and a coclique attaining the Hoffman bound. In particular, it is shown that when the least eigenvalue of such a strongly regular graph is a prime power, its parameters coincide with those of the complement of Sp(2d, q). Furthermore, a generalization of the construction is discussed.

В 2022 году второй автор нашел плодовитую конструкцию сильно регулярных графов, которая основана на соединении коклики и делимого конструктивного графа с определенными параметрами. Конструкция производит сильно регулярные графы с теми же параметрами, что и дополнение симплектического графа Sp(2d, q). В этой статье мы определяем параметры сильно регулярных графов, которые допускают разложение на делимый конструктивный граф и коклику, достигающую границы Хоффмана. В частности, показано, что когда наименьшее собственное значение такого сильно регулярного графа является степенью простого числа, его параметры совпадают с параметрами дополнения Sp(2d, q). Кроме того, обсуждается обобщение конструкции.

Граф Γ называется локально конечным, если у графа Γ для каждой вершины v множество Γ(v) смежных с ней вершин конечно. Для произвольного локально конечного графа Γ с множеством вершин V (Γ) и произвольного поля F на F^ {V (Γ)} (векторном пространстве над F всех функций V (Γ) → F с естественными покомпонентными операциями) определен линейный оператор A^{(alg)}_{Γ,F} : F^{V (Γ)} → F^{V (Γ)}, посредством (A^{(alg)}_{Γ,F}(f))(v) = \sum_{u∈Γ(v)}f(u) для всех f ∈ F^{V (Γ)},, v ∈ V (Γ). В случае конечного графа Γ отображение A^{(alg)}_{Γ,F} есть хорошо известный оператор, определяемый матрицей смежности графа Γ (над F), и теория собственных значений и собственных функций таких операторов составляет (по крайней мере, в случае F = C) хорошо разработанный раздел теории конечных графов. В настоящей работе разрабатывается теория собственных значений и собственных функций операторов A^{(alg)}_{Γ,F} для бесконечных локально конечных графов Γ (впрочем, отдельные ее результаты могут представлять интерес для конечных графов) и произвольных полей F, хотя особый акцент делается на случай, когда Γ – связный граф с ограниченными в совокупности степенями вершин и F = C. Предпринимавшиеся ранее попытки в этом направлении не были, по мнению автора, вполне удовлетворительными в том смысле, что ограничивались рассмотрением лишь собственных функций весьма специального вида (и соответствующих им собственных значений).